§ 3. Структурные свойства фазовых траекторий

Под воздействием возмущения фазовые траектории могут претерпевать различные изменения. Когда мы изображаем фазовую кривую в фазовом пространстве, то что представляет собой рисунок? Только иллюстрацию, способствующую более наглядному представлению о поведении системы, или нечто большее? Можно ли указать какой-либо критерий, различающий траектории, изображенные на рис. 3.6? Конечно, топологические свойства фазовых портретов отражают не только наглядный образ систем, но и специфику их динамики и, более того, возможную реакцию на возмущение. Существуют определенные понятия, которые классифицируют структуры траекторий в фазовом пространстве. Эта классификация, в свою очередь, зачастую полностью определяет динамику системы. К сожалению, подобный анализ не является простым и доступен лишь при малой размерности фазового пространства. Однако там, где он возможен, результаты оправдывают наши ожидания. Они обладают и общностью, и универсальностью. Мы приведем здесь лишь некоторые элементарные соображения, отсылая читателя за более широкими и глубокими знаниями к специальной литературе [9, 10].

Рис. 3.6. Топологически различные фазовые траектории: свободное движение осциллятор (б) и затухающий осциллятор (в)

Классификация особых точек. Множество точек фазового пространства не является однородным. Существует, например, особый класс точек, являющихся точками покоя системы. Они являются особыми точками. С простейшими из них — гиперболической и эллиптической точками — мы уже познакомились в § 2 гл. 1. В этих точках скорость частицы и сила равны нулю. Поэтому они определяются уравнениями

В окрестности точки удовлетворяющей уравнениям (3.1), уравнения движения могут быть линеаризованы. Это приводит к линейной системе

где и коэффициенты определяются через производные от в точке

Далее рассмотрим для простоты случай одной степени свободы. Будем также считать систему, вообще говоря, произвольной. Поэтому функции могут быть не связаны условием гамильтоновости

Нас будет интересовать поведение траекторий системы в окрестности особой точки где справедливо разложение (3.2). Оно зависит, естественно, от параметров (3.3).

Система уравнений (3.2) линейная. Ее решение тривиально и имеет вид

где величины определяются как корни характеристического уравнения

Обозначим

и запишем решение уравнения (3.6) в виде

На плоскости существует всего лишь несколько случаев, которые полностью перебирают все возможности. Корни -действительные (одинаковых либо разных знаков) или комплексно сопряженные. В частности, в гамильтоновском случае, согласно (3.4), и

Допустим, что корни известны. Тогда нетрудно найти семейство траекторий в окрестности точки Для этого предположим дополнительно, что А То и Это означает отсутствие вырождения и нулевого характеристического корня.

При сделанных предположениях существует линейное преобразование

приводящее уравнение (3.2) к диагональному виду

Уравнения (3.9) определяют траектории в фазовом пространстве

Рис. 3.7. Узлы

Рис. 3.8. Седла

В соответствии с перечисленными возможностями для корней мы получаем следующие три случая фазовых кривых в окрестности особой точки (0,0) на плоскости

1. Корни одного знака и, следовательно, (3.10) есть семейство парабол. Оно приведено на рис. 3.7. Особая точка в этом случае является устойчивым либо неустойчивым узлом. Кроме того, если то параболы касаются оси а если то параболы касаются оси

2. Корни и -разных знаков. Кривые (3.10) являются гиперболами (рис. 3.8), а особая точка называется седлом.

Через узел проходят либо устойчивые, либо неустойчивые траектории. Через седло всегда проходят две неустойчивые и две устойчивые траектории. В гамильтоновском случае и все отличие сводится лишь к тому, что гиперболы имеют первую степень

Рис. 3.9. Фокусы

Рис. 3.10. Центры

3. Корни комплексные. Это происходит, если Тогда комплексно сопряженные Особая точка называется устойчивым или неустойчивым фокусом (рис. 3.9). При (гамильтоновский случай) фокус превращается в центр, или точку эллиптического типа (рис. 3.10).

Рис. 3.11. Фазовые траектории маятника с затуханием

Из определения параметра следует, что он связан с диссипацией системы. Введение ее значительно усложняет задачу по сравнению с гамильтоновским случаем, где возможны только седла и центры. В действи-; тельности усложнение происходит значительно более сильное. Это связано с тем, что перечисленные особые точки получены в результате локального анализа и определяют поэтому динамику системы в малой области в окрестности этих точек. Возможны значительно более сложные структуры на фазовой плоскости, возникающие вследствие композиции особых точек. Простейшая из них получается для затухающего маятника:

Его фазовый портрет приведен на рис. 3.11. Он определяется периодически чередующимися седлами и фокусами.

В более сложных случаях расположение седел, фокусов и узлов может носить достаточно причудливый характер.

Предельные циклы. Особыми могут быть не только точки, но и кривые. Ранее для гамильтоновских систем вводилось понятие периодического движения, которое на фазовой плоскости для изображалось замкнутой кривой. Эти кривые не содержали особых точек, за исключением того случая, когда кривая проходила через седло. В последнем случае траектория называлась сепаратрисой, и хотя на фазовой плоскости ей могла соответствовать замкнутая петля, тем не менее период движения на ней равнялся бесконечности. Другими словами, гамильтоновские системы не имеют особых кривых с конечным периодом движения.

Иначе обстоит дело в диссипативном негамильтоновском случае. Существуют периодические движения с конечным периодом — циклы. Им соответствуют на фазовой плоскости замкнутые кривые, не проходящие через какие-либо особые точки. Наличие диссипации означает, что энергия системы должна либо возрастать, либо убывать, по крайней мере, в течение некоторого интервала времени. Это автоматически должно приводить к изменению

площади, охватываемой фазовой траекторией за один квазицикл. Как можно совместить этот процесс с существованием цикла? Возможность заключается в том, что цикл является особой траекторией, на которую система никогда не выйдет ни за какой конечный интервал времени и никогда не сойдет с нее, если находилась на цикле в начальный момент.

Циклы являются предельными траекториями и могут быть устойчивыми, неустойчивыми и полуустойчивыми (рис. 3.12). Простой иллюстрацией предельного цикла может служить осциллятор с нелинейным трением, описываемый уравнением Ван дер Поля

которое мы уже рассматривали в § 2 гл. 2. В окрестности предельного цикла движение описывается уравнением

где -действие осциллятора,

и -площадь, ограниченная предельным циклом:

При предельный цикл устойчив, при неустойчив.

Несколько позже мы покажем, что уравнение (3.13) имеет достаточно универсальную природу.

Топологическая эквивалентность. Мы рассмотрели некоторые особые случаи фазовых траекторий не только с целью их классификации, но и для того, чтобы показать, как они используются в более мощных методах исследования динамических систем. Большие классы систем могут вести себя идентичным образом, и тогда достаточно рассмотреть самую простую систему из этого класса. Подобный путь анализа основан на ряде отношений эквивалентности между системами. Одним из таких отношений является топологическая эквивалентность.

Рис. 3.12. Устойчивый неустойчивый (б) и полуустойчивые предельные циклы

Рассмотрим линейную систему

где х — n-мерный вектор и -матрица Решение системы (3.15), как известно, полностью определяется собственными значениями к матрицы которые находятся из векового (или характеристического) уравнения

где — единичная матрица порядка. Простой пример для рассматривался выше.

Обозначим через число собственных значений к линейной системы А соответственно с положительной или отрицательной вещественной частью.

Для топологической эквивалентности двух линейных систем не имеющих собственных чисел с необходимо и достаточно, чтобы

выполнялись равенства

Этому свойству можно придать определенную наглядность. Характеристические числа диагонализуют правую часть уравнения (3.15). Иначе, неособым линейным преобразованием система (3.15) переводится в систему из независимых уравнений

имеющих простые решения

Это означает, что в фазовом пространстве можно указать направлений, вдоль которых решение растет, и направлений, вдоль которых оно убывает. Если взять начальный фазовый объем в виде шара, то он в дальнейшем будет вытягиваться вдоль неустойчивых направлений и сжиматься вдоль устойчивых направлений. Условие топологической эквивалентности означает равенство устойчивых и неустойчивых направлений. Поэтому асимптотически формы фазового объема будут все ближе и ближе друг к другу (рис. 3.13) с точностью до неособой деформации.

В частности, для устойчивых узлов и фокусов, рассмотренных выше, и они топологически эквивалентны (рис. 3.14). Топологически неэквивалентные системы приведены на рис. 3.15.

Рис. 3.13. Топологическая эквивалентность систем

Рис. 3.14. Топологическая эквивалентность устойчивых узлов и фокусов

Рис. 3.15. Топологически неэквивалентные системы

Приведенные выше соображения являются вспомогательными. Главная теорема приводится ниже.

Пусть нелинейная система описывается уравнениями

с нелинейным оператором Линеаризуем систему (3.17):

и рассмотрим окрестность особых точек линеаризованной системы Тогда нелинейная система топологически эквивалентна в окрестности особых точек своей линеаризованной системе (рис. 3.16).

Приведенная теорема позволяет довольно простым способом производить локальный анализ устойчивости нелинейных систем и устанавливать (также локально) соотношение эквивалентности между различными системами. Мы далее будем широко использовать эту возможность.

Индексы Пуанкаре. Еще одно понятие позволяет глубже понять различие между фазовыми кривыми и областями, окружающими различные особые точки. Это индекс кривой, или индекс Пуанкаре.

Рассмотрим сначала формально пространство (плоскость), в котором задано векторное поле (например, силовое кулоновское поле, образованное положительным зарядом, — рис. 3.17). Окружим заряд гладким контуром С и определим направление обхода его. Из некоторой точки, как начальной, будем обходить контур и следить поворотом вектора поля на контуре.

Рис. 3.16. Топологическая эквивалентность нелинейной системы и ее линеаризации

Рис. 3.17. Обход контура, охватывающего заряд

Рис. 3.18. Обход контура, не охватывающего заряд

Индекс кривой С равен числу оборотов, которое совершит вектор поля при обходе С. В случае, показанном на рис. Если контур С не охватывает заряд, то (рис. 3.18).

Уравнения движения динамических систем определяют в фазовом пространстве динамический поток. Соответствующее ему векторное поле задается фазовыми траекториями, ориентированными в направлении движения. Окружим особую точку контуром С и будем обходить его по ходу часовой стрелки. Тогда из рассмотрения рис. убеждаемся, что индексы узла, седла, фокуса и центра равны соответственно

Существует ряд очень важных свойств индекса кривой. Эти свойства позволяют использовать понятие индекса для определения некоторых свойств динамических систем.

1. Индекс кривой не изменяется при ее непрерывной деформации, если кривая не пересекает при этом особую точку.

2. Точно так же индекс не изменяется при непрерывной и неособой деформации векторного поля.

3. Индекс контура С равен сумме индексов особых точек, лежащих внутри С.

Пример 1. При нелинейном резонансе происходит рождение новых особых точек парами: числа новых гиперболических и эллиптических точек равны. Поэтому индекс кривой, охватывающей область резонанса, не изменяется (число новых особых точек с индексом равно числу новых особых точек с индексом —1). Однако топологическая структура фазового пространства изменилась.

Этот пример показывает, что значение индекса кривой не определяет степень сложности фазового пространства внутри кривой.

Пример 2. Центр и фокус имеют одинаковые индексы. Но они топологически не эквивалентны.

Пример 3. Рассмотрим затухающий маятник (3.11). Его фазовый портрет приведен на рис. 3.11. Одна ячейка периодической фазовой структуры изображена на рис. 3.19. Внутри контура имеются два седла и один фокус. Поэтому

Пример 4. Рассмотрим замкнутую фазовую кривую, описывающую периодическое движение (рис. 3.20). Соответствующее векторное поле всюду направлено по касательной к кривой. Ее индекс равен Поэтому внутри кривой есть по крайней мере одна особая точка (узел, фокус, или центр). Более того, если внутри кривой есть несколько особых точек, то число седел на единицу

меньше числа остальных особых точек (все они предполагаются простыми, т. е. не кратными).

Следствие. При нелинейном резонансе в гамильтоновской системе с рождается равное число седел и центров. Это следует из того, что резонансную область можно окружить замкнутой фазовой траекторией, имеющей; индекс

Структурная устойчивость. Мы обладаем теперь достаточным количеством информации для того, чтобы рассмотреть понятие структурной устойчивости динамических систем. Оно было введено в 1937 г. А. А. Андроновым и Понтрягиным и играет фундаментальную роль в теории устойчивости динамических систем.

Рассмотрим динамическую систему определяемую системой уравнений движения

для вектора состояния х и зависящую от некоторой совокупности параметров Фазовое пространство системы наделено некоторой структурой, которая задается направленным по движению ходом фазовых траекторий. Как мы уже видели, эта структура полностью определяется особыми структурными элементами в области движения. К ним относятся особые точки, сепаратрисы и предельные циклы. Их взаимное расположение в фазовом пространстве и определяет его структуру. Хотя элементов структуры и не слишком много, тем не менее их уже достаточна для того, чтобы столкнуться в некотором смысле с «зоологической» проблемой многообразия видов структур.

Рис. 3.19. Ячейка затухающего осциллятора

Рис. 3.20. Индекс замкнутой фазовой кривой равен

Непосредственное исследование всех возможных видов структур фазового пространства было бы задачей не только громоздкой, но и в достаточной степени бессмысленной. Среди множества различных ситуаций есть такие, которые имеют физический смысл и являются типичными, но есть и исключительные случаи. Поэтому, в первую очередь, следует провести определенную классификацию систем

Пусть при малом «шевелении» поля (т. е. при его малом возмущении) полученная динамическая система будет эквивалентна исходной. Тогда такую систему можно назвать структурно-устойчивой, или грубой.

Предположим, например, что описывает маятник с коэффициентом трения

При система имеет особую точку типа «центр», а при -фокус. Эти точки топологически не эквивалентны. Таким образом, если сначала то малое шевеление параметра приводит к системе другого типа. Наоборот, если сначала был маятник с трением то достаточно малое шевеление не изменяет характера динамики системы. Маятник по-прежнему имеет особую точку—фокус.

Интуитивное определение понятия структурной устойчивости выглядит достаточно просто. Рассмотрим произвольное возмущение исходной динамической системы. Новая, возмущенная динамическая система должна быть во всем подобна исходной, невозмущенной системе. Дадим строгое определение понятия структурной устойчивости (см., например, [12]).

Обозначим через состояние системы в момент времени Эволюция системы определяется уравнением

Пусть существует гомеоморфизм (взаимно однозначное и взаимно непрерывное преобразование) связывающий системы т. е.

Системы 1 и 2 называются топологически эквивалентными, если существует такой гомеоморфизм что из равенства (3.20) следует равенство

Используя определения (3.19) и (3.20), перепишем условие (3.21) в виде

где аргумент для простоты опущен.

Равенство (3.22) показывает, что преобразования коммутируют. Однако для определения структурной устойчивости необходимо еще одно, более тонкое понятие.

Системы называются топологически орбитально эквивалентными, если существует такой гомеоморфизм, который переводит ориентированные фазовые кривые одной системы в ориентированные фазовые кривые другой системы.

Динамическая система будет структурно устойчивой, если существует конечная область возмущений такая, что возмущенная система топологически орбитально эквивалентна исходной системе х и мало отличается от нее.

Некоторая громоздкость определений отражает на самом деле достаточно, наглядную картину. Возмущение не должно быть специально подобранным. Поэтому говорят о конечной области Новое фазовое пространство со всеми фазовыми траекториями (включая особые траектории и особые и изолированные точки) можно, непрерывно и обратимо изгибая, превратить в невозмущенный фазовый портрет.

Понятие структурной устойчивости динамических систем, на первый взгляд, приводит к некоторому указанию, как надо отыскивать случай общего положения, т. е. типичный для реальной физической ситуации, в которой всегда действуют какие-либо небольшие возмущения. Если система структурно неустойчива, то малое шевеление параметров должно приводить ее к устойчивому состоянию. Все неустойчивые состояния при этом вымирают. Выживает лишь типичное состояние, которое и должно вызывать главный физический интерес. Однако развитие идей иного рода привело к обнаружению совсем другой картины, которая возникает, если Оказывается, существуют динамические системы, в окрестности которых структурно устойчивых систем нет (либо их так мало и окрестность устойчивости так мала, что ими можно пренебречь). И, более того, такая ситуация оказывается типичной. Мы познакомимся с ней в последующих главах.