§ 3. Турбулентность слабонелинейного поля

Мы рассмотрели некоторые варианты слабонелинейного волнового поля. Нелинейное взаимодействие волн может быть описано либо как взаимодействие осцилляторов, либо как взаимодействие отдельных гармоник. В определенных условиях это взаимодействие приводит к хаотизации фаз волн. В таких случаях можно перейти к статистическому способу описания волн и ввести функцию распределения по некоторым подходящим переменным. Эта возможность порождает другой взгляд на волновое поле, так как в результате хаотической динамики фаз волн возникает макроскопическое движение, обычно называемое турбулентным.

Здесь, пожалуй, стоит несколько задержаться на понятии турбулентности. В классической гидродинамике, за ним закрепилось понятие не просто нерегулярного движения, а движения, в котором, кроме нерегулярности, происходит еще направленный поток энергии от крупных масштабов к мелким. Последние годы, в течение которых происходило развитие теории хасса, многое изменилось в этих представлениях. О масштабах изменений проще всего судить по появлению таких новых понятий, как турбулентные структуры и турбулентный кристалл. Последний пример особенно эффектен, так как никаких макропотоков энергии в нем не существует.

Мы будем употреблять, как это делалось на протяжении всей книги, понятие турбулентности в самом широком смысле, имея в виду возникновение хаотического движения из регулярного. В то же время обсуждение специальных случаев турбулентности гидродинамического типа будет всегда специально оговариваться. Более того, по аналогии с классической гидродинамикой мы будем использовать термин ламинарного движения для обозначения его регулярного (неслучайного) характера. Остановимся подробнее на различных особенностях перехода от ламинарного движения к турбулентному в слабонелинейных полях.

Основное кинетическое уравнение. Обычно статистическое описание задачи связано с некоторой процедурой огрубления информации о траектории частицы. Она приводит к сокращению числа переменных, характеризующих состояние системы. Хотя при этом теряется значительная доля сведений о состоянии частицы (или квазичастицы, т. е. волны), но сохраняется достаточная информация о макроскопическом характере движения или вероятном распределении по состояниям системы. Таких процедур огрубления может быть несколько. В результате возникает некоторая иерархия процессов сокращения описания системы.

Простейшим примером такой последовательности может служить самая обычная ситуация. Газ частиц можно описать с помощью одночастичной функции распределения. Не интересуясь ею, можно разработать процедуру

обрезания моментов функции распределения частиц, приводящую к гидродинамическим уравнениям. Однако и здесь движение может характеризоваться несколькими масштабами, и можно провести дальнейшее огрубление системы уравнений. Например, не интересуясь какими-либо мелкомасштабными возмущениями, можно получить описание только эволюции на больших расстояниях и на больших временах.

Сейчас нам предстоит в известной степени проделать подобного рода путь с нелинейным волновым полем. Главная трудность здесь связана с пониманием не только того, как огрубляется движение, но и с представлением об условиях, когда эта возможность существует. Редко когда удается формально строго провести всю отмеченную программу. Поэтому, как правило, в основе всех операций сокращения описания задачи лежит понимание происходящих физических процессов.

Нам понадобилось это предисловие, так как теперь мы встретились с физическим объектом, принципиально отличающимся от частиц. Нелинейное волновое поле, вообще говоря, не позволяет единственным способом свести задачу к некоторой конечномерной динамической системе. Каждый случай, когда такое происходит, следует рассматривать как удачу в физической интерпретации задачи.

Возможность получить некоторые, даже весьма грубые, условия хаотизации фаз волн при слабой нелинейности прокладывает путь для первого шага сокращения описания (ком. 4). Действительно, пусть газ волн описывается совокупностью переменных т. е. переменными действие—угол для каждой из волн. Тогда в силу, например, уравнений движения (1.24) и условий (1.22) и (1.23) свойства переменных резко разделяются. Изменение на одном шаге отображения мало, в то время как изменение фаз очень велико. Поэтому можно провести усреднение по случайно изменяющимся фазам В результате этого состояние системы, т. е. волнового поля, будет описываться функцией распределения

Она зависит уже от а не от переменных и нормирована следующим образом:

где принято сокращенная запись и

Кроме того, что функция распределения (3.1) не содержит информации о фазах гармоник поля, она автоматически отражает еще одну информационную потерю. Мы уже видели, что не все фурье-компоненты поля эквивалентны. Некоторые обладают свойством локальной неустойчивости по фазам, но есть и такие, которые ее не имеют. Это те гармоники, для которых не выполняются условия (1.23) или (2.18) или у которых начальные условия попадают в область устойчивости. Степени свободы, соответствующие таким гармоникам, не попадают в число переменных, от которых зависит

Если бы мы рассмотрели все координаты степеней свободы, для которых существует перемешивание по фазам, то нам следовало бы ввести функцию распределения

зависящую от действий и фаз. Она удовлетворяет уравнению Лиувилля

Используя канонические уравнения движения

представляем уравнение (3.2) в виде

Переход от функции распределения к функции осуществляется с помощью оператора огрубления:

идентичного (1.32).

Качественная сторона дальнейших действий заключается в следующем. Уравнение (3.4) решается путем разложения в ряд по степеням Потом производится усреднение по фазам (3.5). При этом возникают корреляторы фаз типа (1.31). Для них следует воспользоваться свойством экспоненциального расцепления корреляций (1.34). В результате возникает, например для гамильтониана (1.1), следующее уравнение для функции распределения

где принято сокращенное обозначение

Уравнение (2.24) называется основным кинетическим уравнением. Оно имеет структуру уравнения типа Фоккера-Планка-Колмогорова и описывает диффузию в пространстве действий волновых гармоник.

Хотя уравнение (3.6) неизмеримо проще исходных уравнений (3.3) или (3.2), тем не менее оно все еще очень сложное (ком. 5). Один из путей его упрощения связан с переходом к уравнению для моментов функции распределения и с этим связан второй шаг в иерархии огрубленных описаний. Кинетика фононов. Введем понятие моментов функции

В формуле (3.7) могут быть и совпадающие значения . В этом случае возникают степени

Умножим уравнение (3.7) на и проинтегрируем по всем . В результате получаем

Мы получили незамкнутое уравнение, так как в правой части (3.8) стоят моменты второго порядка. Если для них также написать уравнение движения, используя (3.6), то в него войдут моменты третьего порядка, и т. д. Так возникает бесконечная система зацепляющихся уравнений, которая эквивалентна основному кинетическому уравнению (3.6). Неэквивалентность возникает, если использовать подходящую процедуру обрезания этой цепочки и замыкания системы уравнений.

Один из наиболее простых способов получения замкнутого уравнения для основан на методе Боголюбова и принципе ослабления корреляций в разреженных газах [9]. В данном случае он выглядит следующим образом. Величина

имеет смысл среднего числа квазичастиц, например фотонов, фононов, плазмонов, магнонов и др., в зависимости от того, каков физический смысл рассматриваемого нелинейного волнового поля. В дальнейшем мы, для определенности, будем называть их фононами, имея в виду под этим понятием произвольный тип квазичастиц.

Если средние числа достаточно малы, то это соответствует разреженному фононному газу. Условие разреженности приводит к тому, что различные фононы слабо взаимодействуют друг с другом и, следовательно, ведут себя более или менее независимо друг от друга. Поэтому возникает основание считать фононы с различными значениями слабо скоррелированными друг с другом. Это приводит к возможности воспользоваться соотношением

С его помощью уравнение (3.8) превращается в следующее:

Уравнение (3.10) является аналогом уравнения Больцмана. Оно называется кинетическим уравнением для фононов. Его правая часть представляет собой специфическую форму столкновительного члена

и приводит к возрастанию энтропии, в чем легко убедиться, вычисляя величину

Прямой подстановкой убеждаемся также, что распределение

является равновесным. Его физический смысл очевиден, если записать его в виде

Полученное равенство выражает закон равнораспределения энергии по степеням свободы, а константу можно интерпретировать как температуру фононного газа. Структура (3.10) или (3.11) не является единственной. Если бы мы рассматривали такое волновое поле, в котором резонансные условия

не выполнялись, а, наоборот, возможны были бы распады и рассеяния четвертого порядка, то столкновительный член приобрел бы иной вид. Вместо (3.11)

было бы уравнение типа

в котором правая часть была бы кубической по числам квазичастиц.

Слабая турбулентность. Традиционное понятие гидродинамической турбулентности связано с возникновением статистического поля скоростей вследствие развития неустойчивости. Это происходит следующим образом. Существует источник неустойчивости, который приводит к накачке энергии в крупномасштабные движения среды—вихри. Далее нелинейность приводит к взаимодействию различных масштабов, в результате которого происходит их дробление и образование все более и более мелких вихрей. Однако на очень малых масштабах, т. е. больших значениях волновых чисел начинает работать какой-либо диссипативный механизм, например вязкость. В результате этого энергия турбулентного волнового поля начинает эффективно поглощаться. Действие всех перечисленных факторов—накачки, дробления вихрей и их затухания, — приводит к установлению некоторого стационарного состояния. Оно характеризуется определенным видом спектра, т. е. зависимости спектральной плотности энергии (рис. 10.1). Можно выделить три характерные области спектра. Область где функция определяется характером источника накачки энергии; область где определяется вязкими силами, и, наконец, главная область называемая инерционным интервалом.

Рис. 10.1. Спектр турбулентности при постоянном потоке энергии

Теория Колмогорова, основанная на постоянстве потока энергии по спектру в инерционном интервале, дает возможность использовать размерностные соображения для определения зависимости от к. Согласно закону для развитой изотропной турбулентности

Центральное место в исходных предположениях Колмогорова занимает предположение о локальном характере турбулентности. Оно означает, что изменение энергии масштаба с волновым числом определяется в инерционном интервале взаимодействием только с близлежащими масштабами, т. е. с вихрями, которые имеют близкие значения волновых чисел. Иными словами, взаимодействие вихрей с сильно различающимися размерами мало.

Близкие соображения можно развить и в случае слабонелинейного волнового поля. В этом случае принято говорить о слабой турбулентности. Роль степеней свободы с разными масштабами играют квазичастицы с различными значениями к. Взаимодействие между масштабами реализуется через резонансы какого-либо порядка. В отличие от сильной турбулентности, здесь имеется в явной форме кинетическое уравнение типа, например (3.11), описывающее взаимодействие масштабов. Поэтому степенные спектры турбулентности типа (3.13) удается построить в явном виде, не прибегая к размерностным оценкам (ком. 6).