Часть II. ВОЛНЫ

Глава 8. НЕЛИНЕЙНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ ВОЛНЫ

Подобно тому как колебания являются одним из наиболее характерных и «вездесущих» процессов, встречающихся в природе при анализе движения отдельных тел или частиц, так волновые процессы берут на себя роль типичных явлений, когда мы имеем дело со средами. Задание состояния частицы может быть произведено с помощью некоторого конечномерного вектора

в фазовом пространстве. Состояние среды уже нельзя задать таким простым способом, и следует вводить некоторое количество полей

заданных в каждой точке пространства в момент времени Это обстоятельство порождает огромное разнообразие новых явлений. В этой главе мы рассмотрим лишь некоторые особенности в основном нелинейных периодических волн. Наша основная цель будет заключаться в выделении специфически нелинейных черт волновых процессов, обладающих той или иной степенью универсальности.

§ 1. Укручение волн

Задачи о возникновении и эволюции волн достаточно многочисленны и разнородны. Постараемся выделить наиболее характерные и удобные примеры, чтобы показать особенности нелинейной волновой динамики.

Бегущие волны. По-видимому, трудно найти более простой пример, который содержал бы столь значительное количество специфической для нелинейных волн информации, чем движение среды из невзаимодействующих частиц. Если обозначить через плотность частиц в точке х в момент времени то факт отсутствия потерь частиц или появления новых частиц имеет тривиальное формальное выражение:

Оно может быть записано более обстоятельно, если раскрыть смысл полной производной по времени:

где скорость среды

Она является функцией точки и времени.

Если то общее решение уравнения (1.2) представляется бегущей волной

и константа имеет смысл скорости волны. Начальное условие

выбирает определенный профиль волны который движется со скоростью вдоль без искажений (рис. 8.1).

Рис. 8.1. Движение волнового профиля в линейном случае

Рис. 8.2. Укручение волны

В нелинейной среде уравнения (1.1) или (1.2) имеют более сложную структуру. Простейшая из нелинейностей связана с зависимостью скорости от плотности:

Уравнение (1.2) по-прежнему легко решается, так как оно первого порядка.. Уравнения характеристик

определяют решение при начальном условии (1.5) в виде

Выражение (1.7) называется простой волной или волной Римана (см. [1, 2]). Это по-прежнему бегущая волна. Однако теперь профиль выражен неявно. Кроме того, скорость движения различных точек профиля различна. Она зависит от самого значения в этой точке. Это обстоятельство приводит к расползанию волнового профиля. Остановимся на этом явлении подробнее.

Рис. 8.3. Возникновение многопотоковости и обрушение волны

Опрокидывание фронта волны. Если то возникает укручение фронта волны (рис. 8.2), о котором мы уже упоминали в § 1 гл. 2. В реальных процессах укручение заканчивается появлением многопотоковых движений и опрокидыванием волны (рис. 8.3). Существует множество примеров опрокидывания волн, из которых, быть может, самым наглядным является образование барашков на поверхности моря при сильном разгоне волн ветром.

Формальное выражение для опрокидывания нетрудно получить из формулы для решения (1.7). Продифференцируем ее по х и по

где штрих обозначает дифференцирование по аргументу и, в частности, Отсюда

Формулы (1.8) дают ответ на вопрос о том, когда происходит опрокидывание.

Очевидное условие означает, согласно (1.5), что изначальный профиль волны неоднороден. Следующее условие, нам уже знакомо

и выражает тот факт, что задача нелинейна. Теперь остается последнее условие, определяющее момент времени когда знаменатель в (1.8) обращается в нуль:

В волнах сжатия и поэтому время существует, если Это как раз имеет место для профилей волн, приведенных на рис.

В частности, рассмотрим вместо уравнения (1.1) уравнение свободного движения несжимаемой среды:

Оно также имеет решение в виде бегущей волны

где функция определяет начальный профиль скорости:

По аналогии с получением формул (1.8) теперь из (1.2) имеем Тогда формула (1.9) для времени опрокидывания дает выражение

которое нами уже было получено совсем из других соображений (см. формулу (2.1.41)).

Выражения (1.9) и (1.12) так же, как и формулы (1.8), имеют вполне наглядный смысл. Опрокидывание сопровождается обращением в бесконечность производных и точно так же Это проявляется в том, что наклон профиля становится перпендикулярным к оси х. Первая малая область профиля, которая достигает такого положения, определяется, очевидно, областью, где максимальна производная начального состояния волны.

Итак, даже в отсутствие взаимодействий мы столкнулись с новым явлением — опрокидыванием, которое присуще только нелинейным задачам.

Роль диссипации. Уравнение Бюргерса. В действительности опрокидывание волны, подобное тому, что возникает на поверхности [воды при сильном разгоне, наблюдается далеко не всегда. Это происходит [из-за существования некоторых факторов, останавливающих процесс укручения фронта волны. Одним из них является вязкость.

Если уравнение (1.10) дополнить вязким членом, то оно примет вид

называемый уравнением Бюргерса, где -коэффициент вязкости. Следующие простые соображения показывают, как вязкость останавливает опрокидывание. Из формул (1.8) видно, что опрокидывание сопровождается обращением в бесконечность производных от профиля волны. То же самое относится и к профилю волны скорости (1.11). Если и волна еще не достигла границы опрокидывания, то ее фронт очень крут. По мере приближения крутизна фронта возрастает и, следовательно, увеличивается производная В результате даже при малых вязкостях член в правой части (1.13) станет большим и сравняется с нелинейным членом Возникает конкуренция двух противоположных процессов: укручения из-за нелинейности и затухания из-за вязкости. Как следствие конкуренции может возникнуть стационарное движение. Посмотрим теперь, как описанный процесс проявляется в формальном решении уравнения (1.13).

Достопримечательностью уравнения Бюргерса является существование точного решения, построенного Хопфом [3] и Коулом [4]. Сделаем замену переменных:

Тогда для получается уравнение диффузии (или теплопроводности):

Примем начальное условие при

условие (1.16) означает для переменной следующее:

Мы будем также предполагать, что начальный профиль удовлетворяет условию

Теперь легко записать общее решение уравнения Бюргерса, так как известно общее решение уравнения теплопроводности:

Обозначим

Отсюда после подстановки (1.19) и (1.17) в (1.14) получаем окончательно

Выражение (1.20) позволяет получать произвольные решения уравнения Бюргерса, соответствующие различным начальным профилям волн, их взаимодействию и т. д. (см. [2]). Мы здесь остановимся на выяснении асимптотического вида решения (1.20) для больших при [5].

Обратим внимание на то, что уравнение (1.13) можно записать в дивергентной форме:

Поскольку предполагается, что и то интегрирование выражения (1.21) по от до дает

т. е. величина

Инвариант движения определяет асимптотическую форму профиля решения (1.20). Для того чтобы получить этот результат, следует провести несложные оценки.

Рассмотрим случай достаточно малых Это автоматически означает выход решения на стационарный профиль через большое время, что следует из структуры уравнения Бюргерса. Поэтому предел означает При малых интегралы в (1.20) можно вычислить методом перевала.. Точка перевала определяется из уравнения

т. е.

Теперь для получается совсем простое выражение

так как экспоненты и предэкспоненты в (1.20) сократились. При отличные от нуля значения получаются только при достаточно больших значениях х.

Рис. 8.4. Асимптотическое решение уравнения Бюргерса в виде треугольной волны: -при -при конечных значениях

Поэтому практически во всей области, где профиль принимает ненулевые значения, имеет место асимптотическая форма решения в котором связаны согласно (1.21) соотношением

Это показывает, что мы получили простую волну, имеющую линейный профиль (1.22). Ее фронт стремится к укручению, однако оно не достигается из-за вязкости.

Нам остается определить границу решения (1.23), так как в подобной форме оно не приводит к конечному значению интеграла (1.22). Поэтому очевидно, что при больших некоторого должно быть Для определения величины воспользуемся формулой (1.22), подставив в нее

Значение интеграла на нижнем пределе не существенно, так как очень велико:

Отсюда видно, что

Полученное решение приведено на рис. 8.4. При конечных значениях вяз» кости имеется переходной слой с шириной, пропорциональной

Формулы (1.24), (1.25) показывают, что асимптотический профиль волны определяется только значением момента и не зависит при от формы начального профиля

Решение уравнения Бюргерса, в котором опрокидывание не происходит, является примером образования ударной волны. Действительно, в ударной волне могут существовать скачки плотности и скорости, нормальной к фронту волны [1]. Это и происходит в данном случае.

Число Рейнольдса. Процесс остановки опрокидывания волны и образования ударной волны определяется, как уже отмечалось, конкуренцией между нелинейностью и затуханием. Это взаимоотношение можно выразить с помощью безразмерного фактора

Он называется числом Рейнольдса и равен просто отношению нелинейного члена к вязкому.

Для оценки заметим, что

Отсюда с помощью формулы (1.24) получаем

Эта формула пригодна для не слишком малых значений Предельный переход к малой диссипации означает большие числа Рейнольдса 1).

Число обладает рядом замечательных свойств, характеризуя различные предельные ситуации. Именно им (или его степенями) определяются различные режимы протекания физических процессов. Рассмотрим в качестве примера определение ширины фронта ударной волны, т. е. ширины области где происходит сглаживание угла в профиле вблизи границы опрокидывания (случай на рис. 8.4). Очевидно, что на длине сравниваются нелинейный член и вязкий член Отсюда

и, используя формулы (1.24), (1.25) и (1.27), получаем

Ширина фронта ударной волны обратно пропорциональна

Спектр ударной волны. Не менее поразительный результат можно получить для спектра ударной волны, используя также число Рейнольдса. Рассмотрим пространственное преобразование Фурье для профиля треугольной волны

Формула (1.30) с асимптотической точностью при определяет профиль решения уравнения Бюргерса (рис. 8.4а). Имеем

Из выражения (1.31) следует, что фурье-компоненты убывают очень медленно с ростом -пропорционально Поэтому спектр волны эффективно не обрезается ни при каких конечных значениях к. Это свойство отражает существование сингулярного разрыва в профиле (1.30).

Перейдем теперь к сглаженному профилю волны, изображенному на рис. 8.46 при конечных значениях вязкости Будем считать, что В этом случае для больших значений фурье-гармоники эффективно

обрезаются. Это происходит при условии

Поэтому можно ввести понятие эффективной ширины пространственного спектра

Поскольку длина волны равна то ей соответствует волновое число Можно ввести безразмерную ширину волнового пакета для треугольной волны:

Формула (1.34) фактически определяет некоторое эффективное число степеней свободы волны, т. е. число пространственных мод, составляющих волновой пакет в виде треугольной волны, периодически продолженной по оси х.

Приведенная спектральная интерпретация числа Рейнольдса как числа степеней свободы системы могла бы показаться несколько искусственной и излишней, если бы она неожиданно не оказалась универсальной для широкого класса систем, в том числе и не диссипативных. Мы познакомимся с этим обстоятельством ниже.