Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 2. Стационарные волныПод стационарной волной будет подразумеваться следующая форма возмущения среды:
Выражение (2.1) представляет собой некоторый стационарный профиль у, перемещающийся в пространстве с постоянной скоростью и. Можно перейти в систему отсчета, движущуюся со скоростью и. Это делается заменой
Тогда
является уравнением, определяющим форму профиля. Мы уже знаем, что нелинейность приводит к укручению профиля волны и к ее опрокидыванию, если только нет какого-либо фактора, препятствующего этому процессу. Тогда в результате компенсации противоположных тенденций и образуется стационарная волна. Ударная волна. В предыдущем пункте было показано, что диссипация может привести к образованию стационарной волны. Рассмотрим, как это происходит для уравнения Бюргерса. Подставим в (1.13) решение в форме (2.1):
Получаем
где штрих обозначает дифференцирование по переменной
Примем следующие граничные условия:
Тогда из (2.5) и (2.4) следует, что предельные значения скорости
и, кроме того, в уравнении (2.4) следует положить
Теперь легко записать решение уравнения (2.4) в виде
где
Выражение (2.7) представляет собой простейшую структуру ударной волны (рис. 8.5). Ширина фронта волны равна
Она стремится к нулю при Влияние дисперсии. Уравнение Кортевега — де Вриза (КдВ). Кроме диссипации, роль «сдерживающего» фактора при укручении фронта волны может сыграть дисперсия волн, т. е. нелинейная зависимость частоты фурье-гармоник от волнового числа:
Рис. 8.5. Стационарный профиль ударной волны Это обстоятельство привело к большому числу различных следствий, которые мы собираемся последовательно обсудить (ком. 1). В линейном случае при отсутствии диссипации закон дисперсии обычно имеет вид
Если, например, колебание близко к звуку, то разложение выражения (2.9) в ряд по малым значениям
где Причина, по которой нелинейный член
Учет нелинейного члена по теории возмущений приведет к появлению слагаемого
т. е. гармоники с волновым числом Для демонстрации этого эффекта рассмотрим уравнение Кортевега — де Вриза, описывающее обширный класс нелинейных задач (ком. 2):
Если бы мы отбросили нелинейный член и положили решение в форме (2.11), то это привело бы к дисперсионному соотношению (2.10) (ком. 3). Ищем решение (2.12) в форме стационарной волны типа (2.1):
Подставляя (2.13) в (2.12), находим
где
Интегрирование (2.14) один раз дает
Домножение на
Мы пришли к уравнению колебаний частицы с гамильтонианом
Роль времени играет переменная
где — константы, выражающиеся через Приведем финитные решения уравнения (2.17), следуя [5]. Они существуют при
где
При
называемый уединенной волной или солитоном. Чтобы несколько упростить выражение (2.19), не нарушая его структуры, положим
изображенный на рис. 8.6. Вид решений (2.18) и (2.19) нам уже знаком. Мы встречались с такими решениями при анализе нелинейных колебаний в гл. 1. Солитон (2.19) соответствует движению по сепаратрисе. Периодическая волна (2.18) имеет вид, изображенный на рис. 8.7. Если модуль х близок к единице, т. е. 1—1, то картина на рис. 8.7 очень близка к периодической последовательности солитонов. Период волны в этом случае равен
где В дальнейшем удобно пользоваться не константами Мы показали главное, т. е. что стационарное решение существует и дисперсия приостанавливает укручение фронта волны.
Рис. 8.6. Солитон
Рис. 8.7. Периодическая стационарнаяволнз Формула (2.20) показывает, что характерная ширина фронта имеет порядок
Рассмотрим теперь отношение нелинейного члена к дисперсионному в уравнении (2.12). Обозначим это число через
Из формулы (2.20) следует, что
Этот же результат (2.24) справедлив и для периодического решения (2.18) при 1. В качестве
или, если учесть определения (2.21) и (2.22),
Поскольку величина
Соотношения (2.23) и (2.27) показывают, что наши рассуждения об отсутствии опрокидывания как при наличии вязкости, так и при учете дисперсии среды, имеют достаточно четкую формальную аналогию. Ее можно продолжить еще в одну важную для нас сторону. Спектр периодических волн. Рассмотрим, как выглядит спектральное разложение нелинейной стационарной волны. Разлагаем (2.18) в ряд Фурье:
В случае, близком к линейному, коэффициенты Однако если то разложение (2.28) имеет совсем другой вид:
Оно показывает, что амплитуды фурье-разложения (2.28) близки к константе вплоть до Важность полученного результата мы сумеем оценить несколько позже. Она основана на том, что движение среды, характеризуемое бесконечным числом степеней свободы, можно при достаточно подходящих условиях свести к конечномерной задаче. Согласно формулам (2.25) и (2.26), связь между величинами
Далее мы увидим, что такого типа соотношения вообще присущи нелинейным периодическим волнам разной природы. Они означают, что следующие характеристики волны оказываются взаимно зависимыми: энергия волны (или ее амплитуда), период волны и ширина спектра. Нелинейная дисперсия. Обозначим через
Поскольку
Физический смысл нового соотношения очевиден — это нелинейный закон дисперсии волн. Действительно, в линейном случае или близко к нему
и соотношение (2.32) означает связь
Рассмотрим этот вопрос подробнее на примере нелинейного волнового уравнения
называемого также нелинейным уравнением Клейна-Гордона. Его линеаризация по малым у дает
где константа
Он — нелинейный и приводит к колебаниям с линейным законом дисперсии Рассмотрим стационарные волны
Подставим (2,37) в (2.34):
Уравнение (2.38) эквивалентно уравнению движения нелинейного осциллятора с массой
и гамильтонианом
Далее для определенности считаем
где
Поскольку
|
1 |
Оглавление
|