§ 2. Стационарные волны

Под стационарной волной будет подразумеваться следующая форма возмущения среды:

Выражение (2.1) представляет собой некоторый стационарный профиль у, перемещающийся в пространстве с постоянной скоростью и. Можно перейти в систему отсчета, движущуюся со скоростью и. Это делается заменой

Тогда

является уравнением, определяющим форму профиля.

Мы уже знаем, что нелинейность приводит к укручению профиля волны и к ее опрокидыванию, если только нет какого-либо фактора, препятствующего этому процессу. Тогда в результате компенсации противоположных тенденций и образуется стационарная волна.

Ударная волна. В предыдущем пункте было показано, что диссипация может привести к образованию стационарной волны. Рассмотрим, как это происходит для уравнения Бюргерса. Подставим в (1.13) решение в форме (2.1):

Получаем

где штрих обозначает дифференцирование по переменной . Первое интегрирование (2.3) дает

Примем следующие граничные условия:

Тогда из (2.5) и (2.4) следует, что предельные значения скорости связаны со скоростью волны и соотношением

и, кроме того, в уравнении (2.4) следует положить

Теперь легко записать решение уравнения (2.4) в виде

где

Выражение (2.7) представляет собой простейшую структуру ударной волны (рис. 8.5). Ширина фронта волны равна

Она стремится к нулю при а профиль ее на рис. 8.5 стремится к ступеньке.

Влияние дисперсии. Уравнение Кортевега — де Вриза (КдВ). Кроме диссипации, роль «сдерживающего» фактора при укручении фронта волны может сыграть дисперсия волн, т. е. нелинейная зависимость частоты фурье-гармоник от волнового числа:

Рис. 8.5. Стационарный профиль ударной волны

Это обстоятельство привело к большому числу различных следствий, которые мы собираемся последовательно обсудить (ком. 1). В линейном случае при отсутствии диссипации закон дисперсии обычно имеет вид

Если, например, колебание близко к звуку, то разложение выражения (2.9) в ряд по малым значениям дает

где и с — константы и с имеет смысл скорости звука.

Причина, по которой нелинейный член ограничивает укручение фронта, заключается в следующем. Пусть начальное возмущение среды было мало и имело вид плоской волны

Учет нелинейного члена по теории возмущений приведет к появлению слагаемого

т. е. гармоники с волновым числом и частотой Это, однако, возможно только в случае линейного закона дисперсии. Таким образом, граничные условия, приводящие к нелинейному дисперсионному соотношению (2.10), тем самым делают невозможным сколь угодно сильное укручение фронта волны.

Для демонстрации этого эффекта рассмотрим уравнение Кортевега — де Вриза, описывающее обширный класс нелинейных задач (ком. 2):

Если бы мы отбросили нелинейный член и положили решение в форме (2.11), то это привело бы к дисперсионному соотношению (2.10) (ком. 3). Ищем решение (2.12) в форме стационарной волны типа (2.1):

Подставляя (2.13) в (2.12), находим

где

Интегрирование (2.14) один раз дает

Домножение на и повторное интегрирование приводит к выражению

Мы пришли к уравнению колебаний частицы с гамильтонианом и потенциалом

Роль времени играет переменная Рассмотрим для простоты случай и представим (2.16) в виде

где — константы, выражающиеся через

Приведем финитные решения уравнения (2.17), следуя [5]. Они существуют при При решение представляет собой периодическую волну

где -эллиптическая функция Якоби с модулем

При т. е. при решение (2.18) переходит в единичный горб:

называемый уединенной волной или солитоном.

Чтобы несколько упростить выражение (2.19), не нарушая его структуры, положим Это означает, что солитону соответствует в (2.16). Отсюда и (2.19) принимает вид

изображенный на рис. 8.6.

Вид решений (2.18) и (2.19) нам уже знаком. Мы встречались с такими решениями при анализе нелинейных колебаний в гл. 1. Солитон (2.19) соответствует движению по сепаратрисе. Периодическая волна (2.18) имеет вид, изображенный на рис. 8.7. Если модуль х близок к единице, т. е. 1—1, то картина на рис. 8.7 очень близка к периодической последовательности

солитонов. Период волны в этом случае равен

где - полный эллиптический интеграл первого рода. Он, как и полагается вблизи сепаратрисы, логарифмически расходится при , т. е. при

В дальнейшем удобно пользоваться не константами а параметрами а и (или

Мы показали главное, т. е. что стационарное решение существует и дисперсия приостанавливает укручение фронта волны.

Рис. 8.6. Солитон

Рис. 8.7. Периодическая стационарнаяволнз

Формула (2.20) показывает, что характерная ширина фронта имеет порядок

Рассмотрим теперь отношение нелинейного члена к дисперсионному в уравнении (2.12). Обозначим это число через

Из формулы (2.20) следует, что

Этот же результат (2.24) справедлив и для периодического решения (2.18) при 1. В качестве следует взять период волны Тогда формула (2.23) принимает вид

или, если учесть определения (2.21) и (2.22),

Поскольку величина определяет, согласно (2.22), ширину солитонного профиля, то величина согласно (2.26), выражает «скважность» импульсов в нелинейной периодической волне (см. рис. 8.7), т. е. отношение расстояния между импульсами к их ширине. Формула (2.26) очень важна для нас. Далее мы увидим, как ею пользоваться. Она в точности соответствует выражению (1.34). Тем самым устанавливается важное соответствие между числом Рейнольдса в диссипативном случае и его аналогом в диспергирующей среде [10]:

Соотношения (2.23) и (2.27) показывают, что наши рассуждения об отсутствии опрокидывания как при наличии вязкости, так и при учете дисперсии среды, имеют достаточно четкую формальную аналогию. Ее можно продолжить еще в одну важную для нас сторону.

Спектр периодических волн. Рассмотрим, как выглядит спектральное разложение нелинейной стационарной волны. Разлагаем (2.18) в ряд Фурье:

В случае, близком к линейному, коэффициенты быстро убывают с ростом Это позволяет ограничиться лишь первым или несколькими первыми членами разложения.

Однако если то разложение (2.28) имеет совсем другой вид:

Оно показывает, что амплитуды фурье-разложения (2.28) близки к константе вплоть до где характерное число уже определено в (2.25). При можно с экспоненциальной точностью спектр обрезать.

Важность полученного результата мы сумеем оценить несколько позже. Она основана на том, что движение среды, характеризуемое бесконечным числом степеней свободы, можно при достаточно подходящих условиях свести к конечномерной задаче. Согласно формулам (2.25) и (2.26), связь между величинами и амплитудой скорости определяется соотношением

Далее мы увидим, что такого типа соотношения вообще присущи нелинейным периодическим волнам разной природы. Они означают, что следующие характеристики волны оказываются взаимно зависимыми: энергия волны (или ее амплитуда), период волны и ширина спектра.

Нелинейная дисперсия. Обозначим через некоторую энергетическую характеристику волны, для которой мы сейчас дадим формальное определение. Тогда формула (2.30) выражает существование связи

Поскольку зависит от амплитуды волны то соотношение (2.31) можно представить в виде зависимости

Физический смысл нового соотношения очевиден — это нелинейный закон дисперсии волн. Действительно, в линейном случае или близко к нему

и соотношение (2.32) означает связь

Рассмотрим этот вопрос подробнее на примере нелинейного волнового уравнения

называемого также нелинейным уравнением Клейна-Гордона. Его линеаризация по малым у дает

где константа предполагается равной нулю и Уравнение (2.35) имеет закон дисперсии

Он — нелинейный и приводит к колебаниям с линейным законом дисперсии лишь при Посмотрим теперь, что происходит в нелинейном случае.

Рассмотрим стационарные волны

Подставим (2,37) в (2.34):

Уравнение (2.38) эквивалентно уравнению движения нелинейного осциллятора с массой в поле с потенциалом

и гамильтонианом

Далее для определенности считаем и предполагаем таким, что существует финитное движение. Период финитных колебаний равен

где -значение энергии и точки поворота в потенциальной

Поскольку то выражение (2.40) является конкретной реализацией соотношения (2.32). Это и есть путь нахождения нелинейного закона дисперсии волн.