§ 4. Взаимодействие нелинейных волн

Существуют специальные случаи нелинейных уравнений, для которых точное решение может быть указано в явном виде при произвольном начальном условии — например, уравнение Бюргерса или уравнение Мы остановимся на этих случаях позже. Однако в общем случае уравнения являются неинтегрируемыми, и можно указать лишь приближенные способы анализа их. В этом параграфе остановимся на некоторых вопросах, связанных с взаимодействием нелинейных волн.

Рис. 9.8. Одномерная стационарная волна

Рис. 9.9. Малая область перекрытия нелинейных волн

Малый параметр взаимодействия. Прежде чем перейти к рассмотрению какой-либо задачи, следует хотя бы качественно показать, что оно не будет лишено перспективы. Другими словами, мы должны понять, существует ли такой параметр, который мог бы определить малость взаимодействия нелинейных волн, и как он должен выглядеть.

Если волны достаточно сильно нелинейные, то оказывается, что такой параметр существует и очень нагляден [16, 18]. Представим себе одномерную нелинейную волну, имеющую форму периодической последовательности длинных гребней возвышения, у которых профиль сечения близок к солитону (рис. 9.8). Пусть такого же вида волна распространяется под углом к первой волне. В этом случае возникает картина пересечения волн, вид сверху которой приведен на рис. 9.9. Рассмотрим случай, когда область перекрытия волн мала. Это означает, по крайней мере, что ширина горбов мала по сравнению с периодом волн. Теперь в этом случае следует ожидать, что энергия взаимодействия волн пропорциональна области их перекрытия. Следовательно, она мала относительно энергии волн, а это и означает, что взаимодействие волн может оказаться слабым. Таким образом, можно ожидать, что малый параметр взаимодействия волн будет пропорционален следовательно, его появление является спецификой именно сильно нелинейных волн, для которых

Неодномерный ионный звук. Рассмотрим для иллюстрации высказанных соображений уравнения ионного звука, с которыми мы уже встречались в § 3 гл. 8. В неодномерном случае они имеют вид

где потенциал поля и плотность и скорость ионов, причем невозмущенная плотность электронов, имеющих распределение Больцмана.

При ефможно произвести упрощение системы (4.1). Представим и оставим в (4.1) лишь члены первого и второго порядков по величинам Кроме того, введем потенциал скорости соотношением После этого система (4.1) принимает вид

Можно также положить и разложить и да в ряд Фурье:

Здесь введена линейная частота

Уравнение для фурье-гармоник принимает вид [20]

где матричный элемент V имеет симметричную форму:

Гамильтониан для уравнения (4.5) определяется формулой

С помощью легко убеждаемся в том, что уравнения движения (4.5) могут быть записаны в гамильтоновском виде

Укажем связь полученных уравнений с одномерным случаем (см. § 3 гл. 8). Имеем и уравнение (4.5) переходит в следующее уравнение в пространственных координатах:

Это — уже знакомое нам уравнение соответствующее малым нелинейностям.

Для его одномерных решений в виде нелинейных стационарных волн

имеем следующее разложение:

где скорость в направлении х. Мы уже знаем, что многие свойства решения (4.10) определяются параметром

причем .

Сравнивая (4.10) с (4.5), устанавливаем связь в одномерном случае:

Параметр сильной связи

определяет отношение длины волны к ширине горба волны . В частности,

Взаимодействие двух волн. Идея рассмотрения взаимодействия сильно нелинейных волн (выполняется неравенство основана на том, что в нулевом приближении их суперпозиция является решением, а их взаимодействие мало из-за малости их перекрытия, как на рис. 9.9. Посмотрим, как эти соображения могут реализоваться в том случае, когда имеются всего лишь две волны, распространяющиеся под углом у друг к другу [18]. Нулевым приближением является выражение

определяющее простую сумму двух стационарных волн, движущихся со скоростями причем

Гамильтониан (4.7) представим в виде

Здесь различные индексы указывают на различные одномерные нелинейные волны; — относятся к одной и той же волне с номером штрих в сумме означает исключение члена с направление вектора совпадает с направлением скорости

Величина должна быть малой, для того чтобы соотношение (4.13) могло быть взято в качестве нулевого приближения. Мы эту малость будем определять непосредственно для каждой из рассматриваемых дальше задач.

Для двух волн индекс в (4.14) принимает только значения Поэтому -функция в отбирает только члены с

Кроме того, согласно (4.6)

Будем также считать неравенство (4.11) выполненным для всех волн:

Тогда выражение для принимает следующий простой вид:

Аналогичная оценка дает для нелинейного члена в порядок Таким образом, критерием малости взаимодействия двух волн является неравенство

которое выполняется для достаточно больших и не слишком малых углов у, как это и ожидалось.

В частном случае перпендикулярного распространения волн матричный элемент взаимодействия (4.6) обращается тождественно в нуль. Поэтому в этом случае следует учитывать взаимодействие двух волн в более высоком порядке по а.

Прежде чем анализировать выражение (4.17), проделаем еще некоторые простые вычисления.

Определим скобки Пуассона с помощью уравнений (4.8). Для произвольной функции а имеем

С помощью выражения (3.19) для двух волн получаем

Этот результат имеет простое объяснение. Энергия взаимодействия (4.17) не зависит от времени, что легко понять из рис. 9.9. Область перекрытия двух волн постоянна. Поэтому спецификой взаимодействия двух волн является лишь перенормировка их параметров и, в частности, скоростей движения Найдем эти изменения.

Для этого обратимся к уравнениям движения (4.5). Имеем

Отсюда видно, что взаимодействие приводит к изменению скорости движения волны на величину

Эти соотношения показывают в явном виде порядок малости возмущения:

Полученный результат важен для нас вдвойне. Кроме того, что мы решаем задачу о взаимодействии двух волн, мы получили возможность убедиться в правильности наших представлений о малых взаимодействиях нелинейных волн и о выборе условий, когда эта малость реализуется. Теперь мы имеем возможность перейти к рассмотрению более сложной и более содержательной задачи.

Если , то относительная величина области перекрытия волн стремится, вообще говоря, к единице. Здесь, однако, тоже существуют случаи слабого взаимодействия, которые по-прежнему связаны с неравенством (4.16) [16].

Взаимодействие трех волн. Перейдем теперь к рассмотрению случая взаимодействия трех нелинейных волн [18]. Он существенно отличается от случая двух волн, так как здесь возможен резонанс, подобно тому как это имеет место для волн малой амплитуды. В гамильтониан в (4.14) теперь входят члены с . В той его части, которая описывает взаимодействие волн, есть два типа слагаемых. Одни из них, в которых принимает только два каких-либо значения, приводят, как мы только что видели, к перенормировке скоростей волн на постоянную малую величину. Далее будем считать, что эта перенормировка уже выполнена, и квадратичные члены в опустим. Другие члены содержат произведения типа которые принадлежат трем различным волнам, т. е. в которых Именно эти члены содержат нетривиальное взаимодействие, и мы будем удерживать только их.

Введем новые канонические переменные — действие и фазу помощью соотношений

Вычислим с помощью скобок Пуассона (4.19):

где знак вектора при опущен, так как одному и тому же значению соответствует одно строго фиксированное направление для всех

Воспользуемся двумя соотношениями: гамильтоновскими уравнениями движения (3.8) и структурой решения в виде стационарной бегущей волны.

Это дает

Отсюда

Мы получили общее выражение, которое является точным для производной по времени от энергии какой-либо волны. Оставим теперь в нем только три волны, соответственно полагая, что тройка состоит из перестановки чисел (1,2, 3). Кроме того, следует иметь в виду конечную цель для того, чтобы упростить уравнения. Будем интересоваться только такой ситуацией, при которой возможен трехволновый резонанс. Посмотрим, что это означает в нелинейном случае. Как и в линейном случае, должны одновременно выполняться соотношения

где нелинейные частоты выражаются из нелинейного дисперсионного соотношения

и положительные целые числа. Заметим, что резонансное условие для частот непосредственно следует из разложения (4.10). С его помощью перепишем резонансные условия (4.25) в виде

Будем далее для простоты записывать и оставим в (4.24) только резонансные члены. Здесь тоже есть неоднозначность, так как резонансы в (4.24) могут реализовываться разными способами в зависимости от направления движения волн и значений их периодов и скоростей. Поэтому мы рассмотрим случай только одного определенного резонанса (4.27), в котором зафиксирована также тройка чисел Это не означает отсутствие или невозможность других резонансов между волнами, а лишь предполагает, что другие резонансы находятся достаточно далеко от данного и не влияют на него.

Запишем уравнения резонансного триплета, полагая в . Имеем

Используем определение (4.22) и связь комплексных амплитуд а, с фазой

Отсюда

где

и - фаза матричного элемента Из (4.28) следуют интегралы движения

которые позволяют, как и раньше, сразу написать решение через квад ратуры.

Рассмотрим нелинейный резонанс волн более детально и получим интеграл движения в окрестности резонанса. Пусть являются резонансными значениями действий, удовлетворяющими соотношениям (4.27). Умножая каждое из уравнений (4.28) на соответствующее значение и интегрируя, находим

где

Вблизи резонанса можно разложить частоты

Подставляем это выражение в (4.31). Линейные члены по при этом сокращаются в силу соотношений (4.30):

Поэтому остаются только квадратичные члены, которые дают

Выражение для есть интеграл нелинейного трехволнового резонанса. Он определяет ширину резонанса по действию:

или по частоте:

Поскольку в системе, движущейся с волной,

то

Подставляя (4.35) в (4.34), находим

В частности, гармоника нелинейной волны имеет порядок уширения из-за нелинейного резонанса При переходе от (4.33), (4.34) к (4.36) мы учитываем, что для имеется соотношение

Взаимодействие трех волн приводит к появлению на их профилях малых по амплитуде модуляций, имеющих вид регулярной ряби. Она аналогична фазовым колебаниям связанных осцилляторов. Однако рябь на волнах сопровождается не только модуляцией амплитуды волн, но и модуляцией скорости распространения волн. Амплитуда колебаний скорости волн равна

Решение уравнений движения (4.28) может быть получено подобно тому, как это делалось в предыдущем пункте для уравнений (4.13). Мы их здесь не выписываем. Важно лишь, что задача о резонансном взаимодействии стационарных нелинейных волн сводится к укороченным уравнениям с той же физической интерпретацией.

КОММЕНТАРИИ К ГЛАВЕ 9

(см. скан)