Глава 7. ФРАКТАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ХАОСА

Свойство простейших динамических систем резко менять характер своего движения от регулярного к случайному при малых изменениях какого-либо параметра является столь удивительным, что мы еще не в состоянии понять в полной мере все особенности совершаемой при этом перестройки динамической системы. Как правило, введение в физические процессы случайных факторов или сил производится достаточно ограниченным способом, использующим чаще всего такие шаблоны, как гауссовские или пуассоновские случайные процессы. Однако реальная стохастичность, порождаемая реальными силовыми полями, выглядит совсем не так. Попытки понять ее с различных точек зрения не оказываются безрезультатными и позволяют заглянуть глубже в фундаментальные свойства нелинейной динамики.

Размерностные свойства -систем являются их новой характеристикой, с которой мы познакомимся в этой главе. В основе ее лежит понятие размерности Хаусдорфа Эта характеристика позволяет получить более тонкую информацию о множествах, чем обычная топологическая размерность (ком. 1).

§ 1. Фракталы

Фракталы — новое понятие, введенное в употребление Мандельбротом [3]. Он же продемонстрировал на обширном классе объектов распространенность фракталов в природе.

Хаусдорфова размерность. Обычная топологическая размерность с которой мы в основном привыкли иметь дело, приписывает счетному множеству размерность нуль, кривым — размерность поверхностям — размерность Во многих случаях нас не может удовлетворить подобное определение, так как могут быть кривые, трудно отличимые от плоскости. Простым примером сделанного утверждения может служить траектория броуновской частицы (рис. 7.1).

Рис. 7.1. Траектория броуновской частицы

Она имеет Однако чем больше время наблюдения, тем плотнее траектория заполняет плоскость. Если отвлечься сейчас от строгих формулировок, то следующее свойство траектории хорошо известно: для произвольного малого характеризующего точность определения положения броуновской частицы на плоскости, можно указать такое конечное время что траектория будет неотличима от плоскости. Более того,

где а — число порядка единицы, зависящее от характера блуждания частицы. Можно заполнять плоскость траекторией некоторым регулярным образом, как это имеет место, например, при эргодическом, но не перемешивающемся движении. Чем отличаются в этом смысле траектории только эргодического движения и движения с перемешиванием?

Этот вопрос подсказывает нам следующий: можно ли указать какую-либо топологическую характеристику степени сложности траектории частицы в фазовом пространстве? Если бы это было возможно, то в наших руках оказался бы инструмент, различающий меру хаотичности движения по форме его траектории. Подобная проблема особенно важна в тех случаях, когда хаос порождается регулярными взаимодействиями в динамических системах, так как именно в этом случае мы встречаемся со всевозможными переходными состояниями движения от регулярного к стохастическому.

Рис. 7.2. Пример покрытия множества точек на плоскости квадратами с плотной упаковкой

Оказалось, что размерность, введенная Хаусдорфом, является тем удобным определением, которое позволяет различать известных пределов) степень сложности и запутанности траекторий. Она вводится следующим образом.

Рассмотрим некоторое множество, точки которого погружены в пространство некоторой размерности Будем покрывать это множество -мерными кубами, плотно упаковывая их. Кубов надо взять столько, чтобы покрыть ими все рассматриваемое множество. Пример такого покрытия на плоскости приведен на рис. 7.2. Обозначим сторону куба через и число кубов, в которые попадает хотя бы одна точка множества, через Тогда хаусдорфова размерность множества равна

Рис. 7.3. Последовательные стадии образования кривой Коха

Легко убедиться в том, например, что для отрезка прямой или гладкой кривой а для элемента плоскости и т.д. Это означает, что в привычных простых случаях хаусдорфова и топологическая размерности совпадают. Различие следует ожидать для необычных случаев. Рассмотрим несколько классических примеров.

Примеры. Первый пример связан с кривой Коха. Она получается следующим образом. Берем отрезок единичной длины и выбрасываем из него часть точно посередине. Соединяем внутренние концы получившихся двух отрезков ломаной, состоящей из двух звеньев длиной каждое (рис. 7.3а). С Каждым из четырех отрезков образовавшейся ломаной поступаем точно таким же образом, т. е. выбрасываем третью часть посередине и надстраиваем ломаную из двух звеньев (рис. 7.3б). Эту операцию продолжаем до бесконечности (третий шаг изображен на рис. 7.3в). Нетрудно видеть, что на шаге длина отрезка ломаной равна

Эти отрезки и играют роль «кубов», покрывающих образовавшуюся кривую Коха. Так же просто подсчитывается число таких «кубов»:

Отсюда

Заметим, что для кривой и поэтому в данном случае

Второй пример связан с классическим канторовым множеством. На рис. 7.4 указаны три последовательные стадии его построения. Из единичного отрезка выбрасывается средняя треть. Так же поступаем с каждым

из образовавшихся двух отрезков (рис. 7.46). Этот процесс продолжается до бесконечности. То, что остается от отрезка после бесконечного числа выбрасываний, и составляет канторово множество. Подсчитаем длину выброшенных отрезков. Она равна

Таким образом, суммарная «длина» оставшегося канторова множества равна нулю, и, следовательно, для него Однако подсчет хаусдорфовой размерности канторова множества дает

Рис. 7.4. Построение канторова множества

Третий пример также широко известен и носит название ковра Серпинского. На рис. 7.5 приведены две последовательные стадии его образования. Единичный квадрат делится на девять равных частей, и средний квадрат выбрасывается (рис. 7.5а). Далее такая же процедура производится с каждой из оставшихся восьми частей квадрата. Этот процесс продолжается до бесконечности. Простой подсчет дает

Отсюда

Мы рассмотрели три довольно близких примера регулярных множеств. В случае броуновского движения на плоскости численный анализ показывает, что в то время как Аналитический подсчет также возможен, однако это увело бы нас от главной цели.

Рис. 7.5. Образование ковра Серпинского. Заштрихованные облает» выбрасываются

Определение фрактала. Мандельброт предложил называть фракталом множество, для которого его хаусдорфова размерность строго больше топологической:

Все рассмотренные выше примеры являются фракталами. Имеется, однако, одно несоответствие в определении. Первые три примера имеют нецелую хаусдорфову размерность и тем самым оправдывают свое название. Последний пример броуновского движения имеет целую хаусдорфову размерность. Однако название является настолько удачным, что на это несоответствие можно закрыть глаза. Мы будем пользоваться также понятием фрактальной размерности, имея в виду размерность фрактала удовлетворяющую условию (1.3), хотя может достигать целых значений.

Фракталы могут быть регулярными (например, кривая Коха) и стохастическими (например, траектория броуновского движения).

По существу определения (1.2) фрактальная размерность отражает свойство масштабной инвариантности рассматриваемого множества.

Неравенству (1.3) можно придать определенный физический смысл. Она характеризует усложнение множества. Если это кривая то кривую, можно усложнять путем бесконечного числа изгибаний до такой степени, что ее фрактальная размерность достигнет двух, если она плотно покроет конечную площадь, или трех, если кривая «упакует» куб.

Реальное определение фрактальной размерности с помощью, например, численных методов в действительности никогда не производится на бесконечном множестве, и число покрываемых точек ограничено некоторой величиной Поэтому для конечного числа точек всегда существует минимальное расстояние между ними При уменьшении когда начинает выполняться неравенство величина перестает изменяться, достигая значения Поэтому для определения годится лишь некоторый прямолинейный участок, лежащий между очень большими и очень малыми значениями (рис. 7.6), если, конечно, он существует.

Рис. 7.6. Область определения фрактальной размерности (сплошная прямая)

Использование фрактальной размерности дает возможность получить еще одну важную характеристику сложных образов. Обширный круг приложений этого понятия описан в книге Мандельброта [3]. Нетрудно обнаружить, что формула (1.2) устанавливает некоторое соотношение подобия между объектами. Это, в частности, сразу же обнаруживается на следующем свойстве.

Связь с ренормализационной группой. Рассмотрим некоторую фигуру и ее последовательные преобразования

Одновременно с операцией заключающейся, например, в увеличении детализации фигуры рассмотрим изменение масштаба на фактор а:

Будем теперь интересоваться некоторой величиной V, характеризующей объем или поверхность фигуры Рассмотрим величину

Если существует подобие при действии оператора

то можно записать связь между объемами в виде

где некоторая степень.

В общем случае соотношение подобия (1.8) может выполняться только в пределе т. е.

Обратимся теперь к последовательности фигур определенной в (1.4), и предположим, что она имеет неподвижную точку Тогда выражение (1.9) превращается в следующее:

или эквивалентное соотношение:

Нетрудно заметить, что определение (1.10) для совпадает с определением при а Действительно, согласно (1.5) только величина

зависит в числителе формулы (1.10) от а. Поэтому

С другой стороны, можно считать оператор соответствующим оператору ренормализационной группы, имеющей по предположению неподвижную точку Соотношение (1.10) возникло вследствие существования неподвижной точки (ком. 2).

Описанные выше соображения позволяют взглянуть на фрактальную размерность как на размерность подобия объема фигуры, соответствующей неподвижной точке (см. (1.11)).

Следует отметить, что ренормализационным свойством может обладать и такая характеристика системы, которая, вообще говоря, не связана с размерностью множества.