2. Колебания математического маятника

При решении задач по данной теме используют рассмотренные выше формулы для смещения, скорости и ускорения гармонических колебаний, а также формулу периода колебания математического маятника которую желательно вывести при решении задач, Формула периода математического маятника справедлива с достаточной для практических целей точностью только для небольших углов отклонения нити от вертикали.

Рис. 235.

748. Докажите, что математический маятник совершает гармонические колебания.

Решение. Из рисунка 235 следует, что где Считая смещение колеблющейся точки от положения равновесия положительным, формулу нужно записать в виде

749. Выведите формулу периода колебаний математического маятника, пользуясь вторым законом Ньютона и данными предыдущей задачи.

Решение. При гармонических колебаниях

Следовательно,

откуда .

750(э). Проверьте на опыте, что периоды колебаний плоского (рис. 235) и конического (рис. 121) маятников одинаковой длины равны между собой. Пользуясь этим, выведите формулу периода колебаний конического и плоского математического маятникоа Решение. Маятник массой совершает движение по окружности. По второму закону Ньютона На маятник действуют сила тяжести и натяжение нити Под действием этих

сил маятник получает центростремительное ускорение а или в проекции на направление радиуса

Следовательно,

откуда

Для малых углов Поэтому откуда

751. Ученик забыл, как правильно записывают формулу:

Приведите доводы в подтверждение правильности той или иной формулы.

Решение 1. Как известно из опыта, длинный маятник имеет больший период колебания, чем короткий; значит, величина I должна стоять под корнем в числителе дроби. Чем больше ускорение тем больше скорость и меньше период колебания. Значит, величина должна стоять в знаменателе дроби.

Решение 2. Определим размерность данных выражений в системе

Так как период выражается в единицах времени, то верна вторая формула.

752. Сравните ход часов с тяжелым маятником: на высокой горе и у ее подножия; на полюсе и на экваторе; на Луне и на Земле; на Земле и в искусственном спутнике Земли.

Ответ. Часы отстанут из-за большего периода колебаний маятника там, где меньше (на вершине горы, на экваторе и на Луне). При невесомости Часы ходить не будут.

753. Какая возникнет за сутки разница в показаниях двух одинаковых часов с тяжелым маятником, если одни установить на уровне моря, а другие — на горе высотой

Решение. Сравним периоды колебаний маятников обоих часов: где — ускорение силы тяжести

Рис. 236.

на горе По закону всемирного тяготения где — радиус Земли.

Пренебрегая величиной получим

Следовательно, на горе период колебаний маятника возрастет на 0,00066 части, что от суток составит сек. Часы на горе отстанут на 57 сек. Рассчитайте длину маятника с периодом 2 сек и изготовьте его. Пользуясь часами, измерьте период колебаний и проверьте, зависит ли он от массы маятника и амплитуды. Ответ.

755. Рассчитайте период колебаний и длину маятника «ходиков», имеющих передаточный механизм для минутной стрелки, показанный на рисунке 236.

Решение. Минутная стрелка делает полный оборот за сек. Промежуточная шестерня за это время сделает оборотов. За один оборот промежуточной шестерни спусковое колесо сделает оборотов. Следовательно, всего спусковое колесо сделает 110 оборотов. За одно полное качание маятника освобождается 1 зуб, поэтому за маятник сделает качаний.