3. Движение по окружности

При решении задач о движении тела, брошенного под углом к горизонту, учащиеся получили понятие о том, что при криволинейном движении под действием силы тяжести скорость может изменяться как по величине, так и по направлению, при этом ускорение направлено в сторону силы тяжести. Эти понятия закрепляют и углубляют при решении задач о движении тела по окружности под действием не только силы тяжести, но и сил упругости, а при

Рис. 117.

повторении материала в IX классе следует рассмотреть также движение зарядов в электрическом и магнитном полях.

Задачи решают по такомч плану: указывают на чертеже силы, действующие на движущееся по окружности тело; записывают второй закон Ньютона Равнодействующая всех внешних сил и, следовательно, центростремительное ускорение направлены по радиусу к центру. Поэтому для перехода от векторной формы записи уравнения к скалярной часто прибегают к проецированию векторов на направление радиуса. Вводить понятия центростремительной силы не следует, так как в большинстве случаев это равнодействующая нескольких сил. Учащиеся же под этим термином нередко подразумевают нечто самостоятельное, не связанное с взаимодействием конкретных тел.

Вначале решают задачи, в которых силы, действующие на движущееся по окружности тело, направлены по одной прямой, а затем рассматривают более сложные задачи, в которых силы направлены под углом друг к другу.

447. Определите, при какой примерно горизонтальной скорости у поверхности Земли тело могло бы стать ее спутником, если бы не было сопротивления воздуха.

Решение. Допустим, что на некоторой высоте поверхности Земли тело получило скорость (рис. 117). Если бы не было притяжения Земли, то через 1 сек тело оказалось бы в точке В на расстоянии, численно равном Но так как тело не только летит от А к В, но и одновременно падает, то оно фактически окажется на той же высоте h в точке равно пути, пройденному телом при падении за 1 сек. Из треугольника найдем где радиус Земли, примерно равный

448. Определите силу давления лыжника на снег: а) на горизонтальном участке дороги; б) на середине вогнутого участка; в) на середине выпуклого участка. Масса лыжника скорость радиус кривизны криволинейных участков Силой трения пренебречь.

Решение, а) На горизонтальном участке пути (рис. 118, а) на лыжника действует сила реакции опоры и сила тяжести

Рис. 118.

По второму закону Ньютона Так как то н. По третьему закону Ньютона лыжник действует на опору с силой

б) Для вогнутого участка пути (рис. 118, б) Так как ускорение направлено по радиусу к центру, то и равнодействующая сил направлена в ту же сторону, поэтому н. Следовательно, сила давления лыжника на снег также равна 1000 н, т. е. значительно превышает силу давления, которую он оказывал на горизонтальном участке дороги.

Этот факт, который нередко удивляет учащихся, нужно обсудить более подробно. На рисунке 118 нужно указывать не только силы, но и вектор скорости Без этого у учащихся часто возникают недоуменные вопросы: «Если то почему лыжник не летит вверх?» По инерции лыжник двигался бы по прямой линии. Но на его пути встречается препятствие — подъем, который действует на лыжника, изменяя траекторию его движения и скорость. По третьему закону Ньютона лыжник с такой же по величине силой действует на участок дороги. Следовательно, сила Давления на вогнутый участок дороги будет больше, чем на горизонтальный. Ускорение определяется всеми действующими на тело силами.

в) Для выпуклого участка (рис. 118, в) Ускорение направлено по радиусу вниз, поэтому что видно и из уравнения , т. е. сила давления в этом случае меньше, чем на горизонтальный участок дороги. Причину этого можно пояснить следующим образом: по инерции, имея скорость лыжник «стремится» двигаться по прямой, удаляясь от дороги, поэтому сила его давления на

Рис. 119.

выпуклый участок дороги меньше, чем на горизонтальный. Можно сослаться на известный учащимся факт: тело, движущееся горизонтально, может вообще оторваться от поверхности Земли («прыжки» лыжника или мотоциклиста, с большой скоростью въехавшего на выпуклый участок дороги).

449. С какой скоростью должен ехать лыжник (см. № 448), чтобы в верхней точке траектории давление его на снег было равно нулю? 2

Решение. . Так как то

450. Лыжник съезжает с верхней точки горы. На какой высоте от начала движения его давление на снег станет равным нулю, если траекторию на данном участке пути можно считать дугой окружности радиусом Трением пренебречь.

Решение. При движении лыжника по траектории (рис. 119) на него действует сила тяжести и сила реакции опоры

По второму закону Ньютона .

Спроецируем векторы на направление радиуса: Для точки В, где или

Поэтому откуда Наполните ведерко водой и, взяв его в руку, быстро вращайте в вертикальной плоскости так, чтобы из ведерка не выливалась вода, когда оно находится дном вверх. Рассчитайте и проверьте на опыте, какое наименьшее число оборотов в секунду по окружности должно совершать ведерко, чтобы в верхней точке траектории вода не давила на дно.

Решение. В верхней точке траектории (рис. 120) вода движется со скоростью направленной горизонтально. Сила тяжести и сила реакции дна ведерка сообщают воде центростремительное ускорение и заставляют его двигаться по окружности.

По второму закону Ньютона

Рис. 120.

Рис. 121.

По условию поэтому

Допустим расстояние от плеча до середины ведерка — равно 70 см, тогда .

452 (э). Найдите величину силы, заставляющей гирьку массой подвешенную на нити длиной см, вращаться в горизонтальной плоскости по окружности радиусом см. Расчеты проверить на опыте. Принять вес гирьки равным 1 н.

Решение 1. В избранном масштабе изображаем конический маятник (рис. 121). На гирьку действуют сила тяжести и сила натяжения нити Силу изображаем, пользуясь масштабом 1 см — 0,2 н. Под действием этих сил гирька получает ускорение, направленное к центру окружности. Следовательно, и равнодействующая сил и направлена по радиусу к центру. Для построения равнодействующей и силы натяжения из конца вектора проводим прямую линию, параллельную нити, до пересечения с радиусом. н. Далее из точки А проводим вертикальную прямую до пересечения с нитью. н.

Решение 2. Из подобия треугольников и следует;

Проверка 1. Оттянем гирьку с помощью динамометра от вертикали на 20 см. Сила тяги динамометра и будет численно равна

Проверка 2. Подсчитав число оборотов гирьки за секунду, найдем силу по формуле

Рис. 122.

Рис. 123.

453. Каков радиус виража для конькобежца, едущего со скоростью при угле наклона ко льду

Решение. Изобразим конькобежца (рис. 122) и укажем действующие на него силу тяжести и силу реакции льда Равнодействующая этих сил создает центростремительное ускорение, направленное горизонтально по радиусу В соответствии со вторым законом Ньютона или откуда получаем

При решении этой задачи у учащихся нередко возникает вопрос, почему сила направлена под углом ко льду, так как они привыкли к тому, что сила реакции опоры перпендикулярна к поверхности. Учитель должен иметь в виду, что в данном случае есть равнодействующая силы трения и силы нормального давления действующих на коньки (см. дополнительное построение на рис. 122). и создает центростремительное ускорение.

Не нужно также смешивать с трением скольжения коньков по льду. это сила трения покоя или трения скольжения для движения конька в направлении, перпендикулярном его лезвию.

454. На сколько следует поднять наружный рельс над внутренним на закруглении радиусом чтобы при скорости движения сила давления поезда на рельсы была перпендикулярна к ним? Ширина железнодорожной колеи равна 152,4 см [39, № 302].

Решение. На вагон (рис. 123) действует сила тяжести и сила реакции опоры Их равнодействующая направленная горизонтально, создает центростремительное ускорение.

Искомую величину найдем из подобия треугольников и

Решив систему уравнений найдем .