ГЛАВА 26. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ

В основном в данной теме решают задачи по электростатике, в которых рассчитывают силы взаимодействия электрических зарядов в соответствии с законом Кулона, находят напряженность, потенциал и работу сил электрического поля при перемещении зарядов и электроемкость конденсаторов.

По теме решают также значительное количество комбинированных задач, в которых рассматривают равновесие заряженных тел при действии на них электрических сил. Эти задачи являются хорошим средством повторения и применения не только законов электрического поля, но и механики.

Электростатические задачи можно разделить на задачи, в которых рассмотрены точечные заряды, и задачи о заряженных телах, размерами которых нельзя пренебречь.

В средней школе рассматривают в основном точечные заряды или заряды на телах сферической формы. Из тел сложной формы берутся только плоские конденсаторы.

В задачах рассматривают свойства как неоднородного, так и однородного электрического поля: первое на примере поля точечного заряда, а второе — на примере поля плоского конденсатора.

1. Закон Кулона

Зависимость силы взаимодействия двух точечных электрических зарядов от расстояния между ними записывают и используют прежде всего в виде в вакууме и в среде, диэлектрическая проницаемость которой Для перехода от пропорциональности в выражении для к равенству вводят коэффициент пропорциональности и закон Кулона приобретает вид

Значение зависит от системы единиц. В системе а диэлектрическая проницаемость безразмерная величина. В СИ и приобретает размерность Условились записывать где размерная величина, получившая название электрической постоянной, а безразмерная величина, так называемая относительная диэлектрическая проницаемость среды.

Диэлектрическая проницаемость вакуума, т. е. электрическая постоянная Значение для конкретной среды берут из таблиц.

Закон Кулона в приобретает вид

Используя формулу закона Кулона, сначала решают тренировочные задачи о взаимодействии двух зарядов, определяя силу величины или расстояния между зарядами. Затем задачи

усложняют, рассматривая взаимодействие нескольких зарядов. Тему завершают решением комбинированных задач с использованием законов статики и динамики. В комбинированных задачах можно, например, рассмотреть условия равновесия заряженных тел, подвешенных на нитях, учитывая действие на них сил реакции и тяжести.

Заметим, что во всех этих задачах заряды принимают за точечные, так как закон Кулона справедлив только для точечных зарядов. При решении задач за точечные заряды допустимо принимать заряды на телах, размеры которых малы по сравнению с расстоянием между телами. В случае тел сферической формы заряд тела считают расположенным в центре сферы.

Характер зависимости силы взаимодействия двух точечных зарядов от расстояния между ними и от среды вначале выясняют путем разбора качественных задач.

610. Как изменится сила взаимодействия зарядов, если расстояние между ними уменьшить в 3 раза?

Ответ. Уменьшится в 9 раз, так как

611. Заряды взаимодействуют в вакууме с силой Какова сила их взаимодействия в керосине?

Ответ. Уменьшится в 2 раза, так как керосина равно 2.

Вычислительные задачи решают вначале примерно следующего содержания.

612. С какой силой взаимодействуют два заряда, по 1 к каждый, на расстоянии друг от друга в воздухе?

Решение. Сила взаимодействия где для воздуха можно с достаточной точностью принять равной 1. Тогда вычисления дают значение:

Задача дает представление об огромной величине заряда Очень важно провести здесь действия не только над числами, но и над наименованиями.

613. Найдите силу взаимодействия двух точечных зарядов, по к каждый, расположенных на расстоянии см друг от друга в керосине.

Решение аналогично решению предшествующей задачи.

Из таблиц

614. С какой силой ядро атома водорода притягивает электрон, если радиус орбиты электрона

Решение. Необходимо знать заряд электрона Это значение может быть взято из справочника, но желательно его запомнить. Протон имеет такой же по величине, но положительный заряд. Сила взаимодействия электрона и протона

Если в задаче дано более двух зарядов и надо определить силу, действующую на один из зарядов, то задачу решают в два этапа:

а) Находят поочередно силы взаимодействия данного заряда с каждым другим зарядом.

б) Складывая полученные силы, определяют равнодействующую силу.

615. Найти силу, действующую на заряд (рис. 168), если заряды к расположены в воздухе, а расстояния см.

Решение. На заряд действуют заряды силами (рис. 168). Силы силы притяжения заряда к зарядам направлены по одной прямой но в противоположные стороны. Их равнодействующая направлена в сторону большей силы и по величине равна их разности. По закону Кулона

Для воздуха расстояния Вычисления дают значения .

616. Заряды к расположены в вершинах равностороннего треугольника со сторонами 20 см. Найдите силу, действующую на один из этих зарядов со стороны двух других в воздухе.

Рис. 168.

Решение. Делаем чертеж (рис. 169). Определим силу, действующую на заряд помещенный в точке С. Заряды (в точке А) и (в точке В) действуют на заряд соответственно с силами Равнодействующую этих сил находят по правилу параллелограмма.

Далее при решении задачи не будем оперировать векторами, а будем вычислять длину отрезков, соответствующих на чертеже (рис. 169) векторам При всех расчетах эти отрезки обозначаем без черты наверху, т. е. определяем лишь величину векторов, направление же их показано на чертеже и учитывается при решении. Легко доказать, что так как (все внутренние углы в равностороннем треугольнике по 60°). Тогда

По закону Кулона

После этого переходят к решению комбинированных задач. 617. Два маленьких шарика массой по подвешены рядом на тонких шелковых нитях длиной по 50 см. Шарики зарядили равными одноименными зарядами, и они оттолкнулись друг от друга на расстояние 7 см. Определите заряды шариков.

Решение. Анализируя условие задачи, принимают заряды на шариках за точечные. Диэлектрическая проницаемость воздуха Сначала делаем чертеж (рис. 170).

На каждый из шариков действуют три силы: сила электрического взаимодействия сила тяжести и сила натяжения нити Шарики будут в равновесии, когда равнодействующие сил, действующих на каждый шарик, равны нулю:

На рисунке 170 буквой обозначена равнодействующая и

Необходимо, чтобы были равны по величине, направлены по одной прямой, но в противоположные стороны. Тогда угол между будет равен а. Далее оперируем не с векторами, а вычисляем лишь их величину.

Рис. 169.

Рис. 170.

По закону Кулона а из параллелограмма сил и запишем При малом а значение уравнения

Так как все величины были взяты в единицах СИ, сразу можно записать, что заряд получился в кулонах. Действия с наименованиями здесь не простые:

Выше при решении задачи проводили сложение сил и Можно складывать и другие силы: Их равнодействующая равна по величине но направлена в противоположную сторону. Оба решения задачи равносильны, и дело учителя выбрать, какие силы и или складывать.

618. Две маленькие капли масла радиусом с одинаковыми электрическими зарядами помещены на расстоянии друг от друга Определите, сколько лишних электронов (или каков их недостаток) на капле, если сила кулоновского отталкивания уравновешивает силу притяжения капель.

Решение. На рисунке 171 показаны кулонова сила и

сила гравитационного притяжения направленные по одной прямой, но в противоположные стороны. По условию задачи или где то а масса шариков плотность масла, равная . Вычисления дают Число избыточных или недостаточных электронов можно получить, разделив заряд капли на заряд электрона В рассматриваемом случае на капле избыток (или недостаток) одного электрона, так как Заметим, что знак заряда может быть любой, так как кулонова сила и при положительных, и при отрицательных зарядах будет силой отталкивания.

Рис. 171.

619. В вершинах квадрата со стороной а помещены маленькие шарики с положительным зарядом Какой заряд надо поместить в точке пересечения диагоналей квадрата, чтобы вся система находилась в равновесии?

Решение. Все заряды, расположенные в вершинах квадрата (рис. 172), находятся в одинаковых условиях. Возьмем заряд в точке А. Его отталкивают заряды, помещенные в точках с силами Уравновесить действие этих сил может отрицательный заряд помещенный в точке и действующий с силой Условие равновесия Равнодействующая равная направлена по одной прямой с силами

Если по закону Кулона выразить условие равновесия запишется

(Берем не векторы, а их численное значение. Направление векторов учтено на рисунке 172.)

Рис. 172.

так как

Вычисления дают принимали равной 1.

620. Определите линейную скорость электрона в атоме водорода на орбите радиусом

Решение. Сила притяжения электрона к ядру в атоме водорода (кулонова сила) , где заряды электрона и протона, отличающиеся только знаком. можно принять равной 1. Кулонова сила — единственная действующая на электрон сила, если пренебречь гравитационным взаимодействием. Она направлена к центру и под действием только этой (центростремительной) силы электрон движется по окружности. Выразим центростремительную силу через линейную скорость электрона массу электрона и радиус орбиты электрона получаем

Приравняв выражения , получим уравнение которого Подставив получим