2. Закон сохранения импульса (количества движения)

В начале темы в качестве повторения полезно решить одну-две задачи, подобные № 77—78, используя известное учащимся из VI класса соотношение или —

Затем этому выражению придают следующий вид:

Данное уравнение является частным случаем закона сохранения количества движения (импульса) — одного из фундаментальных законов физики, справедливого для любой замкнутой системы тел как в макромире, так и в микромире. Оно показывает, что векторная сумма всех импульсов замкнутой системы есть величина постоянная.

В VIII классе решают несложные задачи о взаимодействии двух изолированных тел, движущихся по одной прямой. При этом за тело отсчета принимают Землю.

Но при повторении материала в старших классах желательно решить несколько задач, в которых скорости тел направлены под углом друг к другу. Учащимся IX—X классов можно рассказать, что векторное уравнение закона сохранения импульса эквивалентно трем скалярным:

Так как оси координат могут быть выбраны произвольно, то это означает, что имеет место сохранение величины проекции импульса на любое направление.

В средней школе рассматривают движение тел в одной плоскости, поэтому при решении задач обычно бывает достаточно использовать проекции импульса только на одно или два соответствующим образом выбранных направления, по которым на систему не действуют внешние силы, или же их равнодействующая равна нулю. При этом

ввиду огромной массы Земли изменение ее количества движения не учитывают.

362. Человек, движущийся на лодке по инерции со скоростью оттолкнул багром попавшееся на пути бревно, которое поплыло впереди лодки со скоростью При этом скорость лодки уменьшилась до величины Что больше — масса лодки с человеком или масса бревна? Какова масса бревна если масса лодки с человеком

Решение 1. Скорость лодки с человеком уменьшилась на величину

сек сек сек

Скорость бревна увеличилась на величину

сек сек сек

Скорость лодки изменилась меньше; следовательно, ее масса больше.

Решение 2. После того как учащиеся изучат закон сохранения импульса, задачу полезно решить еще раз, пользуясь уравнением Так как тела движутся по одной прямой и то уравнение можно записать в скалярной форме следующим образом: , откуда

363. Электровоз массой движущийся по инерции с выключенными двигателями со скоростью подъезжает к неподвижному вагону и продолжает движение вместе с ним. Какова масса вагона, если скорость локомотива уменьшилась до Трением локомотива и вагона о рельсы пренебречь.

Решение. Приравниваем количества движения, которые имели все тела (в данном случае локомотив и вагон) до столкновения и после столкновения: ил По условию и все векторы имеют одно направление. Поэтому можно записать следующее скалярное равенство:

Рис. 80.

364. Нейтрон, летящий со скоростью поглощается неподвижным ядром кадмия. Определить скорость образовавшегося нового ядра. Масса нейтрона а масса ядра кадмия Решение.

365. Человек массой прыгает в направлении, перпендикулярном берегу, на плот массой который плывет по течению. С какой скоростью и в каком направлении двигался бы плот, если бы не было сопротивления воды?

Скорость течения Скорость движения человека сек сек

Решение 1. Изобразим на чертеже (рис. 80) векторы количества движения человека и плота. Согласно закону сохранения импульса,

Общее количество движения человека и плота численно равно диагонали параллелограмма, которую можно найти графически, выполнив чертеж в соответствующем масштабе, или по теореме Пифагора. По абсолютной величине

Направление скорости определим из соотношения:

Решение 2. Спроецируем векторы на направление результирующей скорости Получим:

Значение а найдем также, как в решении 1.

366(э). Надуйте детский резиновый шарик и, не завязывая его, выпустите из рук. Как движется шарик и почему?

При случае пронаблюдайте за движением личинки стрекозы, поместив ее в кювету с водой. Подняв кончик брюшка личинки, обратите внимание на выбрасываемые струи воды. Какое это имеет значение для передвижения личинки? Каких животных и почему называют живыми ракетами?

367. С какой скоростью будет двигаться ракета, если средняя скорость выхлопных газов и масса горючего составляет 80% всей массы ракеты.

Решение. По условию Направление векторов противоположно. Поэтому можно записать откуда

868. От третьей ступени ракеты-носителя, движущейся по орбите вокруг Земли со скоростью отделилась головная часть массой С какой скоростью стала двигаться ракета-носитель, если скорость головной части увеличилась на Масса ракеты-носителя без головной части (Все числа при вычислениях считать точными.)

Решение Так как масса головной части по сравнению с массой ракеты невелика и изменение ее скорости незначительно, то можно предположить, что векторы совпадают по направлению. Поэтому уравнение в скалярной форме примет вид

Если предположить, что направление скорости ракеты-носителя изменится на противоположное, то уравнение следует записать в таком виде: откуда Знак минус говорит о том, что направление скорости противоположно тому, которое предполагалось.

Решение 2.

Рис. 81.

369. Брусок массой скользит по наклонной плоскости, высота которой и угол наклона а, и падает на тележку с песком массой (рис. 81). Какую скорость после этого будет иметь тележка? Трением при движении тел пренебречь.

Решение. Для замкнутой системы тел справедливо уравнение

Но так как на тела действует неуравновешенная сила реакции опоры, то видно уже из того, что векторы имеют различное направление. Уравнение, однако, справедливо в проекции на горизонтальную ось, так как в этом направлении на тела не действуют внешние силы:

Так как

370. На корме лодки длиной и массой находящейся в спокойной воде, стоит человек массой На сколько переместится лодка, если человек перейдет с кормы на нос? Сопротивлением воды пренебречь.

Решение. Примем, что человек в лодке перемещается равномерно со скоростью а лодка равномерно движется ему навстречу со скоростью ил. В соответствии с законом сохранения импульса

(3), где — соответственно перемещения лодки и человека относительно воды за время в течение которого человек перешел с кормы на нос. Из системы уравнений 1—4 найдем