4. Электрическая емкость

Здесь решают задачи на определение емкости уединенного тела, емкости конденсатора, а также по известному значению емкостей находят потенциалы тел, расстояния между пластинами конденсаторов и т. п.

Электрическая емкость уединенного тела где заряд, потенциал этого тела.

Емкость плоского конденсатора площадь одной пластинки, перекрывающейся другой, расстояние между ними).

Емкость уединенного шара радиусом в среде с диэлектрической проницаемостью можно вычислить по формуле

Конденсатор емкости С при разности потенциалов и заряде обладает энергией

При решении задач на соединения конденсаторов применяют формулы при параллельном и при последовательном соединении.

Необходимо также решение задач, в которых имеет место перетекание зарядов при соединении тел.

При разборе качественных задач подчеркивают, что емкость зависит только от формы и размеров тела и не зависит от того, сплошное тело или полое, и от материала проводника. Емкость тела зависит также от наличия соседних тел и от их расположения. Приближение какого-либо тела увеличивает емкость, а при неизменном заряде тела уменьшает его потенциал. Приводим примеры таких задач.

638. Два проводника имеют одинаковую форму и размеры, но один из них сплошной, а другой полый. Какое из тел имеет большую емкость?

Ответ. Емкости тел одинаковы.

639. Можно ли изменить потенциал проводника, не касаясь его, не изменяя его заряда?

Ответ. Можно, если приближать к телу или удалять от него другое тело.

Более глубокому пониманию вопроса о емкости способствует разбор качественных задач, в которых рассматривают конденсатор, пластины которого сближают или раздвигают.

При увеличении расстояния между пластинами совершают работу против сил электрического поля, так как пластины конденсатора имеют разноименные заряды и притягиваются друг к другу.

Емкость конденсатора при увеличении уменьшается.

Изменение заряда напряжения и энергии зависит от того, соединен ли конденсатор с источником тока.

640. Конденсатор заряжен и отключен от источника тока. Как изменяются емкость С, разность потенциалов энергия конденсатора при увеличении расстояния между пластинами конденсатора?

Решение. С увеличением емкость конденсатора уменьшается. Уменьшение емкости С приводит при неизменном заряде к увеличению разности потенциалов

Суждение можно сделать сразу по закону сохранения энергии. Совершая работу против сил электрического поля, мы увеличиваем энергию конденсатора Никаких других преобразований энергии в этом случае не происходит.

Вывод об увеличении энергии может быть получен и в результате анализа формул Заряд

С уменьшается и увеличивается. при этом увеличивается.

Поставить задачу можно как экспериментальную. К пластинкам раздвижного конденсатора подключают неоновую лампу. Если зарядить конденсатор от кенотронного выпрямителя , то неоновая лампа загорится. Раздвигая пластины, наблюдают вспыхивание (более яркое свечение) неоновой лампы. Учащимся предлагают объяснить наблюдаемое явление.

641. Конденсатор подключили к источнику тока и раздвинули его пластины. Как изменятся при этом

Решение. Заряд уменьшается, так как уменьшилась емкость С. Часть заряда стекает с пластин конденсатора, образуя в цепи ток, обратный току заряда конденсатора. Энергия конденсатора уменьшается, так как уменьшаются,

Закон сохранения энергии для решения этой задачи применить сложнее, так как надо учитывать преобразования энергии при иротекании тока в цепи.

В вычислительных тренировочных задачах используют формулы

642. Сообщив проводнику заряд его потенциал увеличили на Определите электроемкость проводника.

Решение.

643. Определите толщину диэлектрика конденсатора, емкость которого площадь перекрывающих друг друга пластин если диэлектрик — слюда

Решение.

644. Заряд конденсатора разность потенциалов на его обкладках Определите энергию конденсатора.

Решение.

Формулу можно вывести в процессе решения данной задачи. Энергия конденсатора равна работе при его разряде, но при этом напряжение меняется от до нуля. Закон изменения линейный, поэтому получаем откуда

В задачах, где рассматривают соединение заряженных тел и перетекание зарядов с одного тела на другое, необходимо применять:

а) закон сохранения заряда (общий заряд не изменяется, т. е.

б) условие равновесия статических зарядов. После того как движение зарядов прекратилось, потенциалы всех частей соединения одинаковы

645. Два шара, емкости которых заряженные соответственно зарядами соединили. Определите заряды на шарах после их соприкосновения.

Решение. Пусть заряды на шарах после их соприкосновения а потенциалы По закону сохранения заряда Равенство потенциалов шаров можно записать в виде Из системы уравнений 1 и 2 определяем неизвестные Из уравнения (1) выразим и подставим в уравнение (2). Получаем

Заряд Вычисления дают значения:

В задачах такого типа могут быть даны не емкости а радиусы шаров Тогда емкости их определяют по формуле Если надо определить, с какого шара и на какой будет перетекать заряд, то вычисляют потенциалы шаров до соединения

Задачи на расчет емкости батарей конденсаторов простые, и обычно рассматривают более сложный случай, когда соединяют яженные конденсаторы.

646. Конденсатор емкостью заряженный до напряжения в, соединили параллельно с конденсатором емкостью заряженным до напряжения в (соединяют одноименно заряженные пластины между собой). Определите емкость батареи и напряжение на ее зажимах.

Решение. Общая емкость батареи Напряжение на ее зажимах заряд где заряды на первом и втором конденсаторах до их соединения. Так как то Вычисления дают . Подставлять числовое значение емкости надо в фарадах

647. Батарея из двух конденсаторов емкостями соединенных последовательно, заряжена до напряжения 400 в. Определите емкость батареи и напряжение на зажимах каждого конденсатора.

Решение. Емкость батареи определяют по формуле

откуда

Рис. 180.

Общий заряд на батарее

При последовательном соединении конденсаторов заряд на каждом конденсаторе равен общему заряду батареи: Это легко понять, если рассмотреть заряды на соединенных пластинах конденсаторов (рис. 180). Эти заряды равны между собой, но имеют разные знаки. Общий заряд на этих пластинах равен нулю. Оказывается, что общий заряд равен зарядам Напряжение на конденсаторах

Ниже приводим задачи повышенной трудности, разбор которых дает очень много для уяснения понятия электроемкости.

648. Площадь пластин конденсатора расстояние между ними Частично, как показано на рисунке 181, пространство между пластинами заполнено диэлектриком с относительной диэлектрической проницаемостью Определите емкости конденсаторов.

Решение. В первом случае (рис. 181, а) конденсатор можно представить состоящим из двух параллельно соединенных конденсаторов, один из которых — с диэлектриком, а другой — без диэлектрика.

Площадь всей пластины а части ее с диэлектриком без диэлектрика Тогда емкости этих конденсаторов

Общая емкость

Во втором случае (рис. 181, б) электрическое поле, а следовательно, и емкость не изменится, если верхнюю поверхность диэлектрика покрыть бесконечно тонким слоем проводника. Поэтому

Рис. 181.

общая емкость равна емкости двух последовательно соединенных конденсаторов

649. Выразите энергию конденсатора через напряженность электрического поля.

Решение. Энергия конденсатора Емкость конденсатора а для однородного электрического поля справедливо равенство Получаем

где объем, занимаемый электрическим полем между пластинами конденсатора. Величину называют плотностью энергии электрического поля (энергия единицы объема).

650. Выведите формулу емкости плоского конденсатора, используя данные задачи 629.

Решение. По определению но для однородного поля где общее число линий напряженности, проходящих через площадь Число линий напряженности выражают через заряд (см. № 629):

Окончательно получаем: