ГЛАВА 37. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

Большинство вопросов темы «Основы теории относительности» излагают в ознакомительном плане. Исключением являются зависимость массы тела от скорости, закон взаимосвязи массы и энергии, а также вопрос о скорости света в вакууме как предельной скорости передачи сигнала.

По теме в основном решаются задачи, иллюстрирующие на числовых примерах сокращение длин, замедление хода часов, изменение массы тел и т. п.. Используя формулы специальной теории относительности, учащиеся часто затрудняются в определении, к какой системе отсчета относитсята или иная

величина. Поэтому следует весьма четко разделять величины, относящиеся к разным системам отсчета, для наглядности всегда чертить эти системы координат.

Так как большинство вопросов темы излагается в ознакомительном плане, часть задач следует решать самому учителю при объяснении материала, иллюстрируя полученные соотношения. Обязательными для учащихся являются лишь задачи по зависимости массы тела от скорости и по закону взаимосвязи массы и энергии.

Рис. 312.

Введем обозначения и зависимости, которые используются при решении задач. На рисунке 312 изображены две системы координат Система К характеризуется координатами а система К, движущаяся относительно системы К с постоянной скоростью направленной вдоль оси характеризуется координатами

В классической механике координаты одного и того же события в системах связаны между собой преобразованиями Галилея

Если обозначить скорости тела в системе К буквой и, а в системе К — буквой и, то классический закон сложения скоростей можно записать в виде или

Согласно теории относительности, при больших значениях необходимо применять преобразования Лоренца:

где с — скорость света в вакууме.

В простейшем случае, когда скорость тела в системе К направлена вдоль оси и равна и, а скорость системы относительно К также направлена вдоль оси и равна скорость тела в системе К определяется по формуле

Это релятивистский закон сложения скоростей.

В специальной теории относительности учитывают сокращение длин тел и замедление хода движущихся часов. Один и тот же стержень имеет разную длину в разных системах отсчета. Его длина максимальна в системе отсчета, в которой стержень покоится. В системе отсчета, которая движется по отношению к стержню со скоростью длина стержня будет равна Поперечные размеры стержня не меняются

Если промежуток времени между двумя событиями, происшедшими в одной и той же точке пространства, обозначить то в любой другой системе отсчета, движущейся относительно первой со скоростью промежуток времени

В классической физике массу тела принимают за постоянную величину. В теории относительности установлена зависимость массы от скорости имеющая вид

где масса покоя.

Кроме того, масса тела является мерой запаса полной энергии тела В соответствии с формулой Эйнштейна Всякое изменение энергии тела на величину влечет за собой изменение массы тела на величину т. е.

Формулы учащиеся должны помнить и уметь их применять в простейших задачах, примеры которых будут приведены ниже. Очень важно, чтобы учащиеся усвоили, что преобразования Лоренца, релятивистский закон сложения скоростей, зависимости

имеет смысл применять только в случаях, когда скорость сравнима со скоростью света в вакууме с. При возможно применение классических представлений.

949. Запишите преобразования Лоренца и покажите, какой вид они приобретут при

Решение. Преобразования Лоренца имеют вид:

В этом случае система К. движется относительно К вдоль оси с постоянной скоростью Если то можно пренебречь величинами и Преобразования координат примут вид:

Это классические преобразования Галилея.

950. Линейка и часы находятся в кабине космического корабля. Космонавт измерил длину линейки 10 и промежуток времени между двумя событиями. Какова длина линейки и промежуток времени между этими событиями для наблюдателя, находящегося на Земле?

Решение.

Из формул видно, что Длина движущихся предметов для земного наблюдателя сокращается, а промежуток времени между событиями возрастает.

951. Какую скорость должно приобрести тело, чтобы его продольные размеры уменьшились для наблюдателя в 3 раза? До этого тело покоилось относительно данного наблюдателя.

Решение. По условию но Отсюда Поперечные размеры тела не меняются.

952. Частица, масса покоя которой движется со скоростью: с.

Определите массу движущейся частицы (для наблюдателя, относительно которого движется частица со скоростями Решение.

При скорости с масса частицы мало отличается от то.

б) . Таким образом, при скоростях сравнимых со скоростью света в вакууме, необходим учет зависимости массы от скорости.

953. В координатных осях и покажите зависимость массы тела от скорости.

Решение. Строим таблицу.

(см. скан)

По данным таблицы строим график, изображенный на рисунке 313. 954. При какой скорости масса движущегося электрона вчетверо больше массы покоящегося?

Рис. 273.

Решение, По условию задачи

955. Определите полную энергию тела массой Решение. Полная энергия тела т. е. Здесь полная релятивистская масса.

Полную энергию тела, неподвижного относительно системы отсчета, называют энергией покоя тела и определяют по формуле

956. Найдите такое изменение энергии, которое соответствует изменению массы на величину массы покоящегося электрона.

Решение. По условию задачи равно массе электрона, т. е. Тогда

957. Система К движется относительно системы К со скоростью Частица движется относительно системы К со скоростью Определите скорость частицы и в системе К.

Решение. По релятивистскому закону сложения скоростей

Анализируя полученный результат, следует также показать, что по классическому закону сложения скоростей было бы т. е. т. е. что недопустимо, так как скорость света с в вакууме является предельной скоростью передачи сигнала.

958. Покажите, при каких условиях релятивистский закон сложения скоростей переходит в классический закон.

Решение. Релятивистский закон сложения скоростей а классический Сравнивая эти формулы, легко установить, что релятивистский закон перейдет в классический при что будет при условии