4. Сдвиг фаз. Сложение колебаний

Понятие о фазе и тем более о сдвиге фаз трудно усваивается учащимися. Фаза — это физическая величина, характеризующая колебание в определенный момент времени. Состояние колебания в соответствии с формулой можно охарактеризовать, например, отклонением точки от положения равновесия. Так как при заданных значениях значение однозначно определяется величиной угла фазой в уравнениях колебательного движения обычно называют значение угла

Время может быть измерено в долях периода. Следовательно, фаза пропорциональна доле периода, прошедшего от начала колебания. Поэтому фазой колебаний называют также величину, измеряемую долей периода, прошедшей от начала колебаний.

Задачи на сложение гармонических колебательных движений решают преимущественно графически с постепенным усложнением условий. Сначала складывают колебания, отличающиеся только по амплитуде, затем — по амплитуде и начальной фазе, и, наконец, колебания, имеющие различные амплитуды, фазы и периоды колебаний.

Все эти задачи единообразны и не сложны по методике решения, но требуют тщательного и кропотливого выполнения чертежей. Для облегчения трудоемкой работы по составлению таблиц и вычерчиванию синусоид целесообразно заготовить их шаблоны в виде прорезей в картоне или жести. На одном трафарете может быть сделано три-четыре синусоиды. Это приспособление позволяет сосредоточить внимание учащихся именно на сложении колебаний и взаимном расположении синусоид, а не на их вычерчивании. Однако, прибегая к такому вспомогательному приему, учитель должен быть уверен в том, что учащиеся уже умеют вычерчивать графики синусоид и косинусоид. Особое внимание нужно обратить на сложение колебаний с одинаковым периодом и фазами, что подведет учащихся к понятию о резонансе.

Используя знания учащихся по математике, следует также решить ряд задач на сложение гармонических колебаний аналитическим методом. При этом представляют интерес следующие случаи:

1) Сложение двух колебаний с одинаковыми периодами и фазами:

Амплитуды колебаний могут быть как одинаковыми, так и различными.

2) Сложение двух колебаний с одинаковыми периодами, но разными амплитудами и фазами. В общем виде сложение таких колебаний дает результирующее смещение:

где

а значение определяется из формулы

В средней школе со всеми учащимися нет необходимости решать эту задачу в таком общем виде. Вполне достаточно рассмотреть частный случай, когда и разность фаз или

Это сделает задачу (см. № 771) вполне доступной и не помешает получить из нее важные выводы о колебаниях, которые получаются при сложении двух гармонических колебаний, имеющих одинаковые периоды, но различные фазы.

766. В одинаковых или различных фазах находятся крылья летающей птицы? руки человека при ходьбе? две щепки, попавшие на гребень и впадину волны от теплохода.

Решение. Условившись о начале отсчета, а также о положительном и отрицательном (например, влево и вниз) направлении движения, заключаем, что крылья летящей птицы движутся одинаково и в одну сторону, они находятся в одной фазе; руки человека, а также щепки отклонились от положения равновесия на одинаковое расстояние, но движутся в противоположные стороны — они находятся в различных, как говорят, «противоположных», фазах.

767(э). Подвесьте два одинаковых маятника и приведите их в колебания, отклонив в разные стороны на одинаковое расстояние. Какова разность фаз данных колебаний? Уменьшается ли она со временем?

Решение. Движения маятников описываются уравнениями:

или в общем случае где целое число. Разность фаз для данных движений

со временем не изменяется.

768(э). Проделайте опыт, аналогичный предыдущему, взяв маятники разной длины. Может ли наступить момент, когда маятники

Рис. 239.

будут двигаться в одном направлении? Подсчитайте, когда это наступит для взятых вами маятников.

Решение. Движения отличаются фазой и периодом колебаний

Маятники будут двигаться в одном направлении, когда их фазы станут одинаковыми: откуда

769. На рисунке 239 даны графики четырех колебательных движений. Определите начальную фазу каждого колебательного движения и сдвиг фаз для колебаний I и II, I и III, I и IV; II и III, II и IV; III и IV [21, № 528].

Решение 1. Представим себе, что на графиках показано колебание четырех маятников в момент Когда маятник I начал колебание, маятник II уже отклонился в крайнее положение, маятник III вернулся в положение равновесия, а маятник IV отклонился до конца в противоположную сторону. Из этих рассуждений следует, что разность фаз

Решение 2. Все колебания гармонические, и потому их можно описать уравнением

Рассмотрим все колебания в какой-либо определенный момент времени, например При этом примем во внимание, что знак х определяется знаком тригонометрической функции. Значение же А берется по абсолютной величине, т. е. положительным.

I. ; так как в последующие моменты времени следовательно, поэтому

Рис. 240.

III. ; так как в последующие моменты времени следовательно,

Произведя соответствующие вычисления, получим тот же результат, что и при первом решении:

Несмотря на некоторую громоздкость второго решения, им надо воспользоваться для формирования у учащихся навыков в применении уравнения гармонического колебательного движения.

770. Сложите два колебательных движения с одинаковыми периодами и фазами, если амплитуда одного колебания см, а второго см. Какую амплитуду будет иметь результирующее колебательное движение?

Решение 1. Вычерчивают синусоиды колебаний I и II (рис. 240).

При построении синусоид по таблицам достаточно взять 9 характерных значений фазы: 0°, 45°, 90° и т. д. Амплитуду результирующего колебания находят для тех же фаз, как сумму амплитуд первого и второго колебаний (график III).

Решение 2.

Следовательно, амплитуда результирующего колебания см, и колебание совершается по закону Пользуясь тригонометрическими таблицами, по данной формуле строят синусоиду результирующего колебания.

771. Сложите два колебания с одинаковыми периодами и амплитудами, если они: не отличаются по фазе; имеют разность фаз отличаются по фазе на

Решение 1.

Первый случай вполне аналогичен тому, который рассмотрен в предыдущей задаче и не требует особых пояснений.

Для второго случая сложение колебаний показано на рисунке 241, а.

Сложение колебаний, отличающихся по фазе на показано на рисунке 241, б.

Рис. 241.

Решение 2. Для каждого случая выведем уравнение результирующего колебания.

Результирующее колебание имеет ту же частоту и вдвое большую амплитуду.

Для второго и третьего случая можно записать следующее уравнение:

где разность фаз между двумя колебаниями.

При уравнение принимает вид

Как видно из этой формулы, при сложении двух гармонических колебаний одного периода, отличающихся по фазе, получается гармоническое колебание того же периода, но с иной, чем у слагаемых колебаний, амплитудой и начальной фазой.

При Следовательно, результат сложения существенно вависит также от разности фаз. При разности фаз и равенстве амплитуд одно колебание полностью «гасит» другое.

Анализируя решения, следует также обратить внимание на то, что результирующее колебание будет иметь наибольшую амплитуду в том случае, когда разность фаз у складываемых колебаний равна нулю (резонанс).

772. Как зависит качка корабля от периода колебания волн?

Ответ. Качка будет наибольшей при совпадении периода колебаний волн с периодом собственных колебаний корабля.

773. Почему на дороге, по которой самосвалы возят из карьера камень, песок и т. д., с течением времени образуются периодически повторяющиеся углубления (вмятины)?

Ответ. Достаточно образоваться самой незначительной неровности, как кузов, имеющий определенный период колебаний, придет в движение, в результате чего при движении самосвала

будут создаваться, периодические повышенные и пониженные нагрузки на грунт, приводящие к образованию углублений (вмятин) на дороге.

774. Используя решение задачи 760, определите, при какой скорости движения наступят наибольшие вертикальные колебания вагона, если длина рельса равна

Решение. Период колебаний вагона сек.

Если с этой частотой колебаний будут совпадать удары колео на стыках, то наступит резонанс.

775. Правильно ли утверждение, что вынужденные колебания только тогда достигают значительных размеров, когда собственная частота колеблющегося тела равна частоте вынуждающей силы. Приведите примеры, поясняющие ваше утверждение.

Ответ. Резонанс может наступить и тогда, когда периодически, но не по гармоническому закону изменяющаяся сила имеет период, в целое число раз меньший собственного периода тела.

Примером могут быть периодические толчки, действующие на качели не при каждом их качании. В связи с этим следует уточнить ответ предыдущей задачи. Резонанс может наступить не только при скорости поезда но и при скорости в раз большей, где целое число.