3. Вычислительные задачи

Методы решения вычислительных задач зависят от многих причин: их сложности, математической подготовки учащихся, поставленных учителем целей и т. д.

В зависимости от применяемого математического аппарата различают следующие методы или способы решения вычислительных задач: арифметический, алгебраический, геометрический и графический. По характеру логических операций, используемых в процессе решения, различают аналитический, синтетический и аналитико-синтетический методы.

Арифметический метод. При этом методе над физическими величинами производят только арифметические действия. Физические задачи решают примерно так же, как задачи на уроках арифметики: по вопросам, без применения формул. Арифметический способ применяют в основном на первой ступени обучения физике, когда учащиеся еще не имеют достаточных знаний по алгебре или еще не уяснили достаточно глубоко зависимость между величинами, входящими в физические формулы.

Иногда считают, что отличительная черта арифметического метода — отсутствие буквенных выражений. Дело как раз не в буквенных выражениях, а в том, что при этом методе не составляют и не решают уравнений. Приведем пример решения задачи арифметическим способом, но с применением буквенных выражений. Возьмем задачу на закон Архимеда, когда с буквенными обозначениями соответствующих величин учащиеся уже знакомы.

20. Какой максимальный груз может выдержать в пресной воде плот, связанный из 25 сосновых бревен. Объем каждого бревна составляет в среднем

Разобрав условие задачи, делаем сначала чертеж (рис. 5). Решение выполняем по вопросам.

1. Каков объем бревен плота?

2. Чему равна масса плота? По таблице находим, что масса древесины равна

3. Каков вес плота? .

4. Чему равна масса вытесненной воды при полном погружении плота в воду? По таблице находим, что масса воды равна

5. Каков вес вытесненной воды?

6. Чему равен вес груза? .

Алгебраический метод. При этом методе применяют имеющиеся у учащихся знания по алгебре, используют формулы, составляют и решают уравнения. Наиболее простой случай применения алгебраического метода состоит в решении задач по готовой формуле. Рассмотрим для примера следующую задачу.

21. Определить сопротивление километра медного провода сечением

Сопротивление провода находят по формуле Удельное сопротивление находят по таблице

Рис. 5.

Рис. 6

В более сложных задачах окончательную зависимость, с помощью которой вычисляют искомую величину, определяют, используя несколько формул или системы уравнений.

Геометрический метод. При решении задач геометрическим методом искомую величину находят на основании известных учащимся геометрических соотношений. Геометрический метод широко применяют в статике, геометрической оптике, электростатике и других разделах курса физики средней школы.

Приведем пример решения задачи геометрическим методом. 22. Посредине троса длиной подвесили фонарь массой Определить силу натяжения троса, если стрела прогиба

Сделаем чертеж (рис. 6,а). Силу тяжести разложим на две составляющие и направленные вдоль частей троса (рис. 6,б). Нетрудно доказать, что Из подобия треугольников следует: как стрела прогиба невелика, примем, что тогда Отсюда

Искомое натяжение троса равно по величине и противоположно по направлению силе

В случае геометрического метода решения задач можно использовать не только геометрические соотношения, но и тригонометрические формулы (№ 411, 905).

Графический метод. С геометрическим методом решения задач тесно связан метод графический, при котором для определения искомых величин используют графики. Ввиду значительной специфики этих задач рассматриваем их отдельно (см. стр. 24).

По характеру логических операций различают аналитический и синтетический способы рассуждения при решении задач. При аналитическом способе рассуждения начинают с определения искомой величины, выясняют, как связана эта величина с другими величинами и, последовательно применяя физические формулы, приходят кратчайшим путем к искомой величине (№ 12).

При синтетическом способе рассуждения сначала устанавливают промежуточные зависимости между данными физическими величинами, стараясь подготовить почву для определения искомой величины. В итоге всех операций, часть из которых может оказаться лишней, получают выражение, из которого и находят искомую величину.

Учащиеся чаще всего становятся на путь синтетического решения: они пробуют различные зависимости между величинами, пока не установят такую, которая дает возможность найти искомую величину. При этом, естественно, вначале возможны пути, не приводящие к желаемому результату. Синтетический способ решения наиболее простой, но не всегда короткий.

Аналитический способ труден, так как требует строгой логической последовательности в действиях, но он быстрее приводит к конечной цели.

При решении задач, особенно в старших классах, предпочтение нужно отдать аналитическому способу, так как этот способ имеет большое значение для развития логического мышления. Приведем пример решения задачи аналитическим и синтетическим способами.

23. В шахту равноускоренно опускается бадья массой 280 кг. За первые 10 сек она прошла 35 м. Определить натяжение каната.

(см. скан)

(см. скан)

При решении задач трудно выделить в чистом виде анализ или синтез, они выступают всегда во взаимосвязи. Поэтому часто говорят об аналитико-синтетическом способе рассуждения при решении задач.

Однако в первом случае, когда мы начинаем рассуждение с вопроса задачи, на первый план выступает все же анализ. Правда, в конце, когда «собирают» общую формулу для решения задачи, проводят синтез. Все же данный способ рассуждения при решении задач можно называть аналитическим.

Во втором способе вначале на первый план выступает синтез, так как синтезируются различные соотношения, которые могут быть установлены по данным и условию задачи. Хотя определенные элементы анализа есть и здесь, все же данный способ рассуждения при решении задачи можно назвать синтетическим.