2. Отражение света

По данной теме решают задачи об отражении света от оптически гладких зеркальных поверхностей, размеры шероховатостей которых сравнимы с длиной световой волны.

Закон отражения света, как известно, можно сформулировать в следующем виде: луч падающий, луч отраженный и перпендикуляр к отражающей поверхности, восставленный в точке падения луча, лежат в одной плоскости, а угол падения равен углу отражения. Нужно обратить внимание на то, что учащиеся нередко за угол падения или отражения ошибочно принимают угол между лучом и плоскостью.

Вначале рассматривают задачи об отражении света от плоских, а затем — от сферических, главным образом вогнутых, зеркал. Эти задачи весьма разнообразны как по содержанию, так и по методам решения. При этом решение задач всех типов должно сопровождаться выполнением аккуратных построений хода лучей.

В вычислительных задачах на сферические зеркала используют две формулы: формулу линейного увеличения где соответственно линейные размеры изображения и предмета, а расстояния от изображения и предмета до зеркала, и

формулу сферического зеркала где радиус сферической поверхности.

Расстояние от зеркала до действительных изображений или точек следует брать со знаком а до мнимых — со знаком

Формула зеркала приближенная и соблюдается она с тем большей точностью, чем меньше угол между лучами, идущими от предмета, и оптической осью зеркала.

Первые построения хода лучей, отраженных от сферических зеркал, нужно делать, пользуясь законом отражения, т. е. выполняя построения углов падения и отражения, а затем, когда учащиеся усвоят суть дела, прибегать к построениям с помощью лучей, ход которых известен: луча, параллельного оптической оси, после отражения проходящего через фокус; луча, идущего через фокус, отражающегося параллельно оптической оси; луча, идущего через центр зеркала, отражающегося по тому же направлению; луча, падающего на зеркало в его полюсе, отражающегося симметрично главной оптической оси. Чем больше радиус кривизны зеркала, тем точнее выполняются перечисленные правила. Следует также иметь в виду свойство обратимости световых лучей, согласно которому свет может проходить один и тот же путь и в прямом, и в обратном направлениях.

854(э). Согните под прямым углом лист картона или плотной бумаги а и сделайте в нем прорез б, как показано на рисунке 261. Поставив на пути пучка света от какого-либо источника зеркало в, убедитесь в правильности закона отражения.

Решение задачи ясно из рисунка 261.

855. Докажите, что параллельные лучи, падающие на плоское зеркало, остаются параллельными.

Решение. Рассмотрим ход двух параллельных лучей а и б,

Рис. 261.

Рис. 262.

падающих на зеркало (рис. 262). Соответственные углы 1 и 2, образованные пересечением отраженных лучей прямой А В, равны. Следовательно, лучи параллельны.

856. На сколько градусов отклонится отраженный от зеркала луч, если зеркало повернуть на угол

Решение. Построим луч а, падающий от источника на зеркало (рис. 263). Угол падения и отражения равен Если зеркало повернется на угол а, то перпендикуляр тоже повернется на угол а. Новый угол падения а. Угол между лучами, отраженными от зеркала до и после его поворота, равен

857. Через щель а от источника на плоское зеркало падает расходящийся под углом а пучок лучей (рис. 264). Определите угол между лучами после их отражения от зеркала.

Решение. Построим ход двух крайних лучей, ограничивающих пучок, и продолжим их за зеркало до точки пересечения а и есть тот угол, который нужно определить. Рассмотрим треугольники и поскольку они порознь равны так как они равны Следовательно, а

Полученный результат нужно использовать для того, чтобы пояснить учащимся, что плоское зеркало изменяет только направление распространения лучей, угол же между ними остается неизменным. От любой точки рассматриваемого предмета в глаз всегда попадают расходящиеся лучи, и мы видим эту точку (светящийся или освещенный предмет малых размеров) там, где эти лучи сходятся. Это правило остается верным и по отношению к лучам, расходящимся от зеркала. На их продолжении глаз видит точку которая является изображением точки

Рис. 263.

Рис. 264.

858. Пользуясь решением предыдущей задачи, определите, где получится изображение точки

Решение. Соединим прямой точки и заметим, что так как они имеют равные углы 1 и 3, заключенные между равными сторонами. Поэтому Следовательно, точки расположены симметрично относительно поверхности зеркала.

859(э). а) Укрепите в листе картона две булавки или держите сертикально в руках на различном расстоянии от глаза два карандаша так, чтобы ближний закрывал собой дальний. Слегка смещая глаз вправо и влево, установите правило, в какую сторону при этом смещается дальний предмет относительно ближнего.

б) Установите перед зеркалом а карандаш и определите, где за зеркалом находится его изображение в. Для этого поместите второй карандаш за зеркало (рис. 265) и, смещая глаз вправо и влево, как в первом задании, и двигая карандаш найдите такое положение, когда карандаш за зеркалом не будет смещаться относительно изображения в. На основе опыта сделайте вывод, где находится изображение в.

Ответ, а) Дальний предмет смещается относительно ближнего в ту же сторону, что и глаз, б) Измерением находим, что изображение карандаша находится за зеркалом на таком же расстоянии, как и сам карандаш перед зеркалом, что подтверждает выводы, полученные в задаче 858.

Рис. 265

860(a). Положив недалеко от своих ног зеркало, найдите в нем изображение верхушки дерева, столба или другого высокого предмета и, произведя соответствующие измерения и расчеты, найдите их высоту.

Решение. Сделаем чертеж, подобный изображенному на рисунке 266. В соответствии с законом отражения света а Поэтому Следовательно, откуда высота дерева где расстояние от глаз человека до земли, соответственно расстояния от зеркала до дерева и ног человека.

861. На верхушке дерева у поляны сидит птица. Где на земле она должна схватить ягоду, чтобы кратчайшим путем перелететь на другое дерево на противоположной стороне поляны?

Решение. Допустим, что птица должна перелететь с

Рис. 266

вершины А на вершину В (рис. 267). Построим точку В, симметричную относительно поверхности земли точке В, и проведем прямые и кратчайшее расстояние между точками но поэтому путь также кратчайший для данных в задаче условий. Любой другой путь, например, так как

Из рисунка 267 видно, что а следовательно, кратчайший путь соответствует ходу светового луча, отражающегося в точке О.

Можно сообщить учащимся, что древнегреческий ученый Герон Александрийский (ок. 120 лет до н. э.) доказал, что при отражении света от плоского зеркала луч проходит кратчайшее расстояние. А ученый Ферма (1601—1665) показал, что свет распространяется по такому пути, для прохождения которого требуется минимальное время (принцип Ферма).

862. Изобразите зеркальную вогнутую полусферу с радиусом кривизны 5 см и найдите построением точки пересечения лучей с главной оптической осью, если лучи падают на зеркало параллельно главной оптической оси на расстоянии 1, 2 и 4,5 см от нее. Точку пересечения с главной

Рис. 267.

Рис. 268.

оптической осью луча, отстоящего от нее на расстоянии 1 см, найдите также расчетами.

Решение. Изобразим падающие на зеркало параллельные лучи а, б, в, отстоящие от главной оптической оси соответственно на расстоянии 1, 2 и 4,5 см. Точку падения каждого луча соединяем с центром зеркальной поверхности, и по углам падения с помощью транспортира или циркуля строим равные им углы отражения (рис. 268).

Луч а после отражения пересекается с главной оптической осью в точке лежащей примерно посередине между полюсом зеркала и центром сферической поверхности С.

Луч пересекается с главной осью несколько ближе к полюсу

Луч в совершенно не попадает в область точки и многократно отражается от зеркала.

Из построения следует вывод: параллельные лучи, близкие к главной оптической оси, пересекаются примерно в одной точке, называемой фокусом зеркала.

Выражение «Лучи, близкие к оптической оси» означает, что размер отверстия зеркала, равный в данном примере значительно меньше радиуса кривизны

Положение точки можно рассчитать следующим образом. равнобедренный, Так как мал, то следовательно,

863. Пользуясь свойством обратимости световых лучей, из решения задачи 862 сделайте вывод о том, как идут после отражения от вогнутого сферического зеркала лучи, проходящие через фокус

Ответ. Лучи, идущие через фокус под малым углом к главной оптической оси, отражаются параллельно главной оптической оси.

864. Определите построением и расчетами, где находится изображение светящейся точки, лежащей на главной оптической оси: а) за центром вогнутого зеркала; б) между центром и фокусом; в) между фокусом и полюсом.

Рис. 269.

Решение 1. а) Через центр зеркала С проводим побочную ось равноправную с осью выделение которой, вообще говоря, условно (рис. 269, а). Затем из точки проводим луч параллельный При отражении от зеркала он должен пройти через фокус лежащий на середине отрезка Точка пересечение двух лучей и является изображением точки Расположена эта точка между фокусом и центром.

б) Используя свойство обратимости лучей, сразу утверждаем следующее: если светящаяся точка расположена между фокусом и центром, то сопряженная точка, являющаяся ее изображением, расположена за центром зеркала. Это утверждение нетрудно проверить построением, аналогичным предыдущему: проводим побочную ось и рассматриваем ход параллельного ей луча После отражения от зеркала этот луч пройдет через фокус побочной оси и пересечется с главной оптической осью в точке являющейся изображением точки (рис. 269, б).

в) Проводим побочную ось и рассматриваем ход параллельного ей луча При отражении от зеркала этот луч пройдет через фокус и не пересечется с лучом, идущим по главной оптической оси. Изображения не будет. Но глаз, если в него попадут эти расходящиеся лучи, увидит мнимое изображение за зеркалом на продолжении лучей в точке (рис, 269, в).

Решение 2. Запишем формулу зеркала и выразим из нее интересующую нас величину

Если

а) При знаменатель будет величиной большей но меньшей 1, поэтому .

б) (из сравнения случаев видно, что точки, лежащие на расстоянии являются сопряженными).

в) d < F. Знаменатель — величина отрицательная. Мнимое изображение лежит за зеркалом.

Рис. 270.

Рис. 271.

Рис. 272.

865(э). Можно ли и как с помощью вогнутого сферического зеркала получить на экране изображение лица человека? Ответ проверьте на опыте.

Ответ. Изображение на экране действительное, поэтому лицо человека должно находиться от зеркала на расстоянии большем фокусного. Возможная установка показана на рисунке 270. Опыт наглядно показывает, что сферическое зеркало дает изображение не только светящихся, но и освещенных предметов.

866. Как с помощью вогнутого сферического зеркала получить: а) уменьшенное; б) увеличенное изображение предмета? Ответ проверьте с помощью построений и опытов.

Решение, а) Уменьшенное изображение получается, если предмет находится от зеркала дальше его центра (двойного фокусного расстояния). Для упрощения построений изображаем предмет («стрелку») так, что один ее конец находится на главной оптической оси (рис. 271). В этом случае достаточно найти изображение одной точки А, поскольку изображение точки В, как показано в задаче 864, находится на главной оптической оси. При построении изображения используем, например, луч, параллельный главной оптической оси, и луч, идущий через центр С. Действительное, уменьшенное и обратное изображение находится между фокусом и центром зеркала (рис. 271).

б) На основе обратимости световых лучей заключаем, что если предмет находится между фокусом и центром зеркала, то его действительное, увеличенное и обратное изображение находится за центром зеркала.

Поскольку в условии задачи не сказано, каким должно быть увеличенное изображение, действительным или мнимым, то к данному вопросу следует привести и другой ответ. Увеличенное (мнимое) изображение получится, если предмет поместить между зеркалом и фокусом (рис. 272).

Отраженные от зеркала лучи, как видно из рисунка 272, расходятся, поэтому действительного изображения нет. Но глаз увидит мнимое изображение, например, точки А за зеркалом на продолжении лучей и Мнимое изображение предмета получается увеличенным, что, например, используется в зеркалах для бритья.

В связи с решением этой задачи нужно обратить внимание учащихся на то, что в зеркалах прямое изображение всегда мнимое, а обратное — действительное.

867 (з). Как, не пользуясь расчетами, определить радиус кривизны вогнутого зеркала. Ответ проверьте на опыте.

Решение. Как показано в задаче 866, если предмет находится дальше центра зеркала, изображение будет уменьшенным, если ближе — увеличенным. Логично предположить, что если предмет находится на расстоянии, равном радиусу зеркала, то изображение будет по величине равно самому предмету, что и можно использовать для определения радиуса зеркала.

Данное заключение можно подтвердить с помощью формулы увеличения зеркала При Тогда из формулы зеркала следует, что

При постановке опыта укрепляют лист картона а с прорезом и зеркало в на штативах (рис. 273). Прорез освещают параллельным пучком света (от проекционного фонаря). Сдвигая картон вдоль главной оптической оси зеркала, получают на нем обратное изображение по величине равное «прорезу». Изображение находится на двойном фокусном расстоянии, которое равно радиусу зеркала.

868. Источник света перемещается равномерно со скоростью 2 смсек от центра зеркала, радиус кривизны которого см, к его полюсу. Как перемещается при этом изображение источника света и как изменяется его скорость? Постройте график зависимости расстояния изображения расстояния источника света до зеркала.

Рис. 377.

Решение 1. Источник света перемещается от центра зеркала к его фокусу, а его изображение перемещается в противоположную сторону сколь угодно далеко от центра. Ясно, что средняя скорость перемещения источника света меньше, чем изображения, которое за одно и то же время проходит большее расстояние откуда

(см. скан)

Составим таблицу и построим по ней график (рис. 274).

Из таблицы и графика видно, что расстояние изображения до зеркала изменяется быстрее, чем расстояние источника света. Точка — особая точка. Для нее и функция претерпевает разрыв. Отрицательным значениям соответствует расстояние до мнимого изображения источника за зеркалом. С приближением источника от его центра к зеркалу действительное изображение с возрастающей скоростью удаляется от зеркала, а мнимое с уменьшающейся скоростью приближается к нему.

Рис. 274.

Решение 2. Используя знания учащихся по математическому анализу, скорость перемещения изображения найдем как производную

Для удобства записи формул обозначим величину буквой величина постоянная. Напоминаем учащимся, что если

то производная

Поэтому

По условию задачи скорость перемещения источника — величина постоянная, равная 2 см/сек и см. Поэтому мгновенная скорость перемещения изображения

Знак минус показывает, что изображение перемещается в направлении, противоположном перемещению источника света.

Наибольшую величину скорость изображения приобретает тогда, когда движущийся источник находится вблизи фокуса . При что качественно уже было выяснено с помощью графика (рис. 274).