5. Распространение колебаний в упругой среде. Волны

По теме решают главным образом задачи о распространении в различных средах звуковых волн. Основные типы задач определяются следующими формулами:

1. . В соответствии с этой формулой составляют и решают задачи, в которых находят расстояние пройденное волной, время и скорость а распространения колебаний в той или иной среде. При этом нужно четко разграничить в сознании учащихся понятие скорости а от скорости гармонического колебания точки Скорость а для данной среды — величина постоянная. Ее называют также фазовой скоростью, поскольку она характеризует скорость распространения какой-либо фазы волны в пространстве.

Скорость же гармонического колебательного движения величина переменная. Она изменяется по закону Это мгновенная скорость колебания точки для времени t.

2. , где частота колебаний (в гц).

При решении задач сначала в качестве основной формулы желательно использовать именно формулу (из которой уже

затем получать необходимые производные выражения: и др.), так как данная зависимость допускает наглядное толкование: длина волны К равна пути, на который волновой процесс при скорости а распространяется за время

3. Уравнение волны где А — амплитуда колебания, время начала отсчета, I — расстояние точки от центра колебаний, скорость распространения волны.

Уравнение волны учащиеся не должны смешивать с уравнением гармонического колебательного движения которое описывает смещение одной и той же точки от положения равновесия, в то время как уравнение волны говорит об отклонении от положения равновесия различных точек по направлению распространения волны. Уравнение волны рисует картину, которую в ряде случаев можно наглядно увидеть в природе (волны в шнуре, волны на воде и т. д.), а уравнение гармонического колебания — только математическое выражение зависимости смещения х от времени

При решении задач о звуке желательно ввести понятие о музыкальных интервалах на примере интервалов рояля.

Отношение чисел колебаний двух музыкальных тонов называют их интервалом. Если это отношение равно 2, то говорят, что тона отличаются на октаву.

776. На середине пруда плавает мяч. Чтобы пригнать его к берегу, мальчик создает палкой волны. Достигнет ли он таким образом цели?

Ответ. Не достигнет. Материальная точка в поперечной волне не перемещается по направлению ее распространения.

777. «Скорость звука в чугуне впервые была определена французским ученым Био следующим образом. У одного конца чугунной трубы ударяли в колокол; у другого конца наблюдатель слышал два звука: сначала один, пришедший по чугуну, а спустя некоторое время — второй, пришедший по воздуху. Длина трубы была промежуток времени между приходом звуков оказался равным 2,5 сек. Найти по этим данным скорость звука в чугуне. Скорость звука в воздухе принять равной

Решение. Звук в однородной среде распространяется равномерно в соответствии с формулой Время распространения звука в воздухе в чугуне . По условию сек. Подставив в эту формулу числовые значения величин, получим:

Рис. 242.

778. Отвечая урок, ученик сказал, что длинные волны распространяются с большей скоростыо, так как Верно ли это утверждение? Подтвердите свои доводы примерами.

Ответ. Неверно. В одной и той же среде колебания с большей длиной волны имеют во столько же раз больший период, поэтому скорость распространения колебаний различной частоты одинакова. В противном случае в концертном зале мы услышали бы сначала низкие, а затем уже высокие звуки.

779. Кривая, изображенная на рисунке 242, показывает, как изменяется длина звуковой волны в железе от частоты колебаний (при По графику определите скорость распространения звука в железе. Зависит ли величина скорости звука от длины волны?

Решение.

Определим скорость звука для длин волн

Скорость звука не зависит от длины волны.

780. Через воду, землю и даже сталь можно слышать без изменения тональности звуки, которые раздаются в воздухе. Как это объяснить, ведь частота а скорость звука в воде и тем более в стали в несколько раз больше, чем в воздухе?

Ответ. Скорость распространения колебаний увеличивается во столько же раз, во сколько увеличивается длина волны. Поэтому частота колебаний не изменяется.

781. Скорость продольных волн в стержне можно вычислить по формуле где модуль упругости (модуль Юнга), плотность среды. Проверьте данную формулу с помощью размерности входящих в нее величин. Рассчитайте по формуле скорость звука в алюминии.

Решение. Размерность левой части формулы а правой

т. е. размерности обеих частей формулы совпадают, что является необходимым (хотя еще и недостаточным) критерием ее справедливости.

Для алюминия

что совпадает со значением скорости звука в алюминии, которое указывают в таблицах.

782. Звуковые колебания, имеющие частоту гц и амплитуду распространяются в воздухе. Длина волны см. Найдите скорость распространения колебаний и максимальную скорость частиц в воздухе [18, № 12, 57].

Решение. Скорость распространения колебаний Максимальная скорость колебательного движения частиц

Анализируя полученные данные, нужно обратить внимание учащихся на различное значение величин В данном случае фазовая скорость в сотни раз больше максимальной скорости смещения колеблющихся частиц воздуха.

783. Волны распространяются вдоль резинового шнура со скоростью при частоте 2 гц. В каких фазах находятся точки, отстоящие друг от друга на расстоянии 75 см? [22, № 525].

Решение 1. Определим длину волны Ясно, что точки колеблются в противоположных фазах, так как

Решение

Разность фаз

Следовательно, точки колеблются в противоположных фазах. 784. Рояль имеет 7 октав. Самый низкий тон гц. Какая частота соответствует тону в других октавах?

Решение.

785. Рассчитайте количество колебаний, соответствующих основным нотам 3-й октавы, если ноте соответствует частота 435 гц, а между тонами октавы существует следующее соотношение:

Решение. гц. Аналогично найдем

786. Сколько октав содержат воспринимаемые человеческим ухом звуки?

Решение 1. Ухо воспринимает звуки от 16 до 20 000 гц. Нетрудно подсчитать, что первая октава содержит частоты до 32 гц, вторая до 64 гц и т. д. Всего примерно 10 октав.

Решение 2. Вместо непосредственного подсчета числа октав можно использовать очевидную зависимость: 16 гц - гц. Прологарифмируем данное выражение

787. Едва слышимый шепот при 1000 гц имеет силу звука а сильные удары грома дают волну с силой звука Определите для этих случаев максимальную скорость и амплитуду смещения частиц в звуковой волне для воздуха при нормальных условиях.

Решение. Энергия колебательного движения частицы в волне равна , где максимальная скорость частицы в положении равновесия. Если скорость звука а см/сек, то волна, проходящая через площадку в через секунду распространится на расстояние а см и все частицы в объеме а будут иметь энергию Допустим, содержит частиц, тогда поток энергии

за секунду или сила звука Но есть плотность воздуха поэтому сила звука Проверим эту формулу с помощью размерности входящих в нее величин. Силу звука измеряют в Размерность правой части формулы Таким образом, размерности левой и правой частей формулы совпадают, что является необходимым, хотя и недостаточным условием ее справедливости.

Максимальная скорость колебательного движения частиц в первом случае

Амплитуда колебаний

Для второго случая аналогично найдем и сек см.

Как и в задаче 782, нужно обратить внимание учащихся на то, что частицы воздуха при звуковых колебаниях смещаются на незначительные расстояния, которые могут быть соизмеримы с размерами самих молекул, а максимальная скорость их колебательного движения может быть в сотни и даже миллионы раз меньше скорости распространения звука.