3. Упругие колебания. Превращение энергии при колебательном движении

При изучении этой темы решают задачи по кинематике и динамике упругих колебаний. Полезно при этом сопоставление упругих колебаний с уже рассмотренными колебаниями маятника для выявления как их общих, так и специфических черт.

Решение задач требует применения второго закона Ньютона, закона Гука и формул кинематики гармонического колебательного движения.

Период упругих гармонических колебаний тела массой определяют по формуле (№ 758). Эта формула позволяет определить период различных гармонических колебаний, если известно значение Для упругих колебаний это коэффициент жесткости, а для колебаний математического маятника (№ 748).

В задачах о превращениях энергии в колебательном движении в основном рассматривают превращение кинетической энергии в потенциальную. Но для случая затухающих колебаний учитывают также превращение механической энергии во внутреннюю. Кинетическая энергия упругих колебаний

Потенциальная энергия

Будут ли отличаться и как колебания тел разной массы на одной и той же пружине? Ответ проверьте на опыте.

Ответ. Тело большей массы будет иметь больший период колебаний. Из формулы следует, что при одной и той же силе упругости тело большей массы будет иметь меньшее ускорение и, следовательно, будет двигаться медленнее. Это можно проверить, приводя в колебание подвешенные на динамометре грузы разной массы.

757(э). На пружину подвесили груз и затем поддерживали его так, чтобы пружина не растягивалась. Опишите, как будет двигаться груз, если убрать поддерживающую его опору. Ответ проверьте на опыте.

Решение, Отпустим груз свободно падать вниз. Тогда он растянет пружину на величину которую можно определить из соотношения

По закону сохранения энергии при обратном движении вверх груз поднимается на высоту будет совершать колебания с амплитудой h. Если же груз подвесить на пружине, он растянет ее на величину

Так как

Рис. 237.

Следовательно, положение, в котором висит груз в состоянии покоя, является центром, около которого совершаются колебания. Этот вывод легко проверить на «мягкой» длинной пружине, например от прибора «ведерко Архимеда».

758. Тело массой под действием пружины, имеющей жесткость совершает без трения колебания в горизонтальной плоскости вдоль стержня а (рис. 238). Определите период колебания тела, используя закон сохранения энергии.

Рис. 238.

Решение. В крайнем положении вся энергия тела потенциальная, а в среднем — кинетическая. По закону сохранения энергии

Для положения равновесия Следовательно,

759(э). Определите коэффициент жесткости резиновой нити и рассчитайте период колебания подвешенной на ней гири массой . Ответ проверьте на опыте.

Решение. Для ответа на воррос задачи учащиеся должен иметь резиновую нить, грузик массой 100 в, линейку и секундомер

Подвесив груз на нить, сначала рассчитывают величину численно равную силе, которая растягивает нить на единицу длины. В одном из опытов были получены следующие данные. Начальная длина нити см, конечная Откуда см

Измерив по секундомеру время 10—20 полных колебаний груза, убеждаются, что период, найденный расчетами, совпадает с полученным из опыта.

760. Используя решение задач 757 и 758, определите период колебаний вагона на рессорах, если его статическая осадка равна

Решение.

Следовательно,

Мы получили интересную формулу, по которой легко определить период упругих колебаний тела, зная только величину

761 (э). Используя формулу рассчитайте, а затем проверьте на опыте период колебаний на пружине от «ведерка Архимеда» грузов массой 100, 300, 400 г.

762. Пользуясь формулой получите формулу периода колебаний математического маятника.

Решение. Для математического маятника поэтому

763. Используя условие и решение задачи 758, найдите закон, по которому изменяется сила упругости пружины, и запишите уравнения данного гармонического колебательного движения, если в крайнем положении тело обладало энергией

Решение.

Примем, что Амплитуду колебаний А определим из формулы

Аналогично подставив значение массы, амплитуды и периода в общие формулы смещения, скорости и ускорения, получим:

Формулу ускорения можно было такжеполучить, пользуясь формулои силы

764. Математический маятник, имеющий массу и длину отклонили на 5 см. Какую скорость ускорение а и потенциальную энергию он будет иметь на расстоянии см от положения равновесия?

Решение. Найдем сначала период колебания угловую частоту и время движения маятника от положения равновесия

Для определения времени воспользуемся формулой

откуда

По абсолютной величине

765(a). Изготовьте маятник и проверьте на опыте, как изменяется при увеличении затухания период его колебания. На что расходуется энергия при затухающих колебаниях?

Решение. Для опыта можно использовать затухание колебаний маятника, имеющего кисточку, трущуюся о стол, затухание колебаний маятника (в том числе пружинного), опущенного частично или полностью в воду, и т. д.

В одном из опытов были получены следующие данные. Длина маятника см, масса (гиря из набора по механике). Период колебания маятника в воздухе сек. Период колебания маятника, когда гиря находилась в воде, сек. Из опыта видно, что, чем больше затухание колебаний, тем больше их период. Это и понятно, так как действующие на маятник силы трения

замедляют его движение. Механическая энергия маятника превращается во внутреннюю энергию тел (воздуха, воды, нити и др.), которые нагреваются.