3. Центр тяжести. Виды равновесия. Устойчивость тел

В VIII классе решают задачи, в которых центр тяжести находят или на опыте, или геометрическим, или аналитическим путем. Полезно также решить ряд задач несколькими способами, чтобы убедить учащихся в их правомерности. Понятие о центре тяжести используют затем при решении задач о видах равновесия и устойчивости тел. Для определения устойчивости тела, имеющего площадь опоры, используют правило о положении отвеса, опущенного из центра тяжести. Это правило нужно обосновать, используя сведения о равновесии тела, имеющего ось вращения.

417. Определите на опыте и обоснуйте теоретически положение центра тяжести круга, прямоугольника и треугольника, вырезанных из картона.

418. Где расположен центр тяжести карандаша, обруча? Всегда ли центр тяжести располагается внутри тела?

419 (э). Пользуясь спицами и нитками, определите центр тяжести картофелины или свеклы.

Решение. Картофелину подвешивают два—три раза в разных положениях и протыкают по направлению нити спицей. Разрезав картофелину, обнаруживают, что все отверстия сходятся в одной точке — центре тяжести.

420 (э). С помощью медных монет определите вес линейки.

Решение. На конец линейки кладут монеты и уравновешивают, как показано на рисунке 100, а. Из рисунка видно, что . Вес линейки численно равен

К задачам этого типа учащиеся нередко делают чертежи,

Рис. 100.

Рис. 101

Рис. 102.

подобные изображенному на рисунке 100, б, и при решении учитывают вес рычага по обе стороны от точки опоры. В этом нет надобности, так как равнодействующая сил равна весу тела и приложена к его центру тяжести.

421. Найти центр тяжести двух грузов по 4 и 1 н (рис. 101). Расстояние между центрами грузов Весом соединительного стержня пренебречь.

Решение 1. Центр тяжести О — точка приложения равнодействующей параллельных сил делит расстояние на отрезки, обратно пропорциональные силам. Поэтому

Решение 2. Грузы останутся в равновесии, если стержень подпереть в центре тяжести — точке откуда или

Для задач, в которых находят центр тяжести двух тел, оба решения равноценны. Но если требуется определить центр тяжести трех или более тел, то решение первым способом потребует последовательного попарного сложения всех сил, что нерационально. Поэтому лучше задачи этого типа решать вторым способом.

422. Где находится центр тяжести вала с двумя шкивами (рис. 102)? Длина вала между шкивами толщина шкивов по а вес вала и шкивов соответственно равен Ответ дать с точностью до трех значащих цифр. [21, № 270].

Решение. Покажем на чертеже направление и точки приложения сил тяжести Центр тяжести лежит между точками А и В. Система находится в

Рис. 103

равновесии, следовательно, Приняв во внимание толщину шкивов получим: откуда см.

423. Из однородной круглой пластинки с радиусом вырезан круг вдвое меньшего радиуса касающийся первого круга. Найти центр тяжести полученной пластинки.

Решение 1. Разобьем фигуру на части, выделив пунктиром круг, как показано на рисунке 103, а, и применим тот же метод, что и в предыдущей задаче, считая силы тяжести, действующие на отдельные части фигуры, пропорциональными их площадям. Площадь «лепестков» равна Центр тяжести лежит правее центра О большого круга. Площадь малого круга равна Принимая во внимание, что запишем: — откуда

Решение 2. Мысленно заполним вырез. Это равносильно тому, что в точке А будет приложена сила равная силе тяжести, действующей на круг радиуса Для того чтобы равновесие фигуры не нарушилось, нужно приложить вверх силу равную по величине Теперь на сплошной круг действуют силы равная силе тяжести, действующей на сплошной круг (рис. 103, б):

Из решения 2 видно, что для нахождения центра тяжести однородных тел с полостями можно считать тела сплошными, но при

Рис. 104.

этом к центру тяжести полостей следует прилагать вверх силы, равные по величине силе тяжести, действующей на заполнившее их вещество.

424. Устойчивое, неустойчивое или безразличное положение равновесия занимают следующие тела: маятник часов, висящий вертикально; шар, лежащий на выпуклой поверхности; шар, лежащий на вогнутой поверхности; шар, находящийся на горизонтальной поверхности? Ответ обоснуйте, основываясь на условии равновесия тела, имеющего ось вращения.

Решение. Отклоним маятник и шар, лежащий на вогнутой поверхности, от положения равновесия. Как видно из рисунка 104, а на них будут действовать вращающие моменты заставляющие их двигаться к положению равновесия. Следовательно, эти тела находятся в положении устойчивого равновесия.

На шар, отклоненный от положения равновесия на выпуклой поверхности, действует вращающий момент, заставляющий его катиться дальше от положения равновесия (рис. 104, б.). Следовательно, этот шар находится в положении неустойчивого равновесия.

В любом положении на шар, лежащий на горизонтальной поверхности, действуют уравновешивающиеся силы (рис. 104, е), поэтому шар находится в положении безразличного равновесия.

425. Длинный шест, поставленный вертикально, находится в положении неустойчивого равновесия. Как же его удерживает жонглер?

Ответ. Жонглер слегка смещает в сторону точку опоры шеста, в результате чего создается вращающий момент, препятствующий его падению.

426. Деревянную линейку закрепите под углом к горизонту и поставьте на нее спичечные коробки, снабженные отвесами, как показано на рисунке 105, а. (Для того чтобы коробки не соскальзывали по линейке, воткните в нее кнопки.) Какая из коробок упадет раньше, если увеличивать угол наклона линейки? Почему? Положите коробки плашмя (рис. 105, б). Какая стопка опрокинется раньше, если увеличивать угол наклона? Почему?

Решение. На коробки действуют сила тяжести и реакция опоры. Коробка будет в равновесии, если или Пока отвес не выходит за площадь опоры, момент

Рис. 105.

возвращает тело в положение равновесия и, наоборот, опрокидывает его, когда отвес выходит за площадь опоры.

427. Каким образом увеличивают устойчивость штативов, настольных ламп, подъемных кранов?