Для детального обозначения векторов состояния можно вписать в скобки различные индексы. Например, собственные состояния оператора энергии для гармонического осциллятора могут быть просто охарактеризованы соответствующим квантовым номером состояния, т. е. , так что уравнение Шредингера записывается в виде

В элементарной квантовой механике это обозначение соответствует единому символу для вектора вместо конкретизации его компонент в определенной системе координат, т. е. х, у, z.

Последние появляются как скалярные произведения вектора на единичный вектор а, направленный вдоль одной из рассматриваемых осей выбранной системы координат. Так, . Соответственно шредингеровская волновая функция в точке q координатного пространства есть компонента состояния в направлении собственного вектора оператора; она задается скалярным произведением

Компоненты состояния в другой системе координат образуются как линейные комбинации из аналогично тому, как компоненты вектора выражаются через линейные комбинации его компонент в системе, заданной единичными векторами

Например, в импульсном пространстве, в котором задаются собственные состояния оператора р, мы имеем по аналогии с вышеизложенным

Эта формула переходит в обычную запись волновой функции в импульсном пространстве, если подставить

Новые обозначения можно проиллюстрировать на примере произвольного оператора . Так, уравнение для собственных значений

можно переписать, умножая его на в форме

или, в эквивалентном виде, как

Оператор является, следовательно, матрицей в некотором частном представлении. Точно так же, произвольный матричный элемент можно переписать как

Все эти общие равенства значительно упрощаются, если выбрать представление, в котором — диагональная матрица:

Например, можно найти следующим образом:

В импульсном пространстве диагональное представление q записывается как

где 8 обозначает первую производную от -функции. Таким образом мы получаем

После этих предварительных замечаний можно перейти к изучению движения рассматриваемой системы. Согласно (2.7), уравнение движения (2.19) для оператора а имеет вид

Его можно непосредственно проинтегрировать:

Из этого результата и из эрмитово сопряженного равенства следует, что координата и импульс оказываются теми же функциями времени, что и в классической механике:

Чтобы выявить зависимость от времени для нашей системы в определенном состоянии вычислим величину

которая представляет собой вероятность нахождения осциллятора в точке q в момент времени t. Для состояний эта вероятность, конечно, не будет зависеть от времени; в нашем представлении это следует из (2.21). Чтобы получить более интересные сведения, мы должны рассмотреть суперпозицию состояний .

Фиг. 2.2. Движение пакета . Изображены движение центра пакета и его ширина Показано также размазывание пакета при

В частности, полезно рассмотреть собственное состояние (волновой пакет) неэрмитова оператора а:

Покажем, что В этом состоянии вероятность испытывает гармоническое изменение во времени, период которого равен классической частоте осциллятора. По аналогии с (2.13) имеем

т. е. гауссовское распределение, имеющее ту же ширину, что и волновая функция основного состояния, но сдвинутое от начала координат на расстояние d. Конечно, это состояние не является собственным состоянием М, и наш формализм немедленно дает, что вес состояния в пакете равен

Используя полноту набора , находим, что

и

Таким образом, вероятность обнаружения возбужденного состояния в состоянии подчиняется распределению Пуассона [2] со средним значением

Мы вскоре увидим, что волновой пакет совершает гармоническое движение с амплитудой d и частотой Следовательно, основной вклад в пакет дает возбужденное состояние с энергией, равной , т. е. состояние с классической энергией колебательного движения с амплитудой d и частотой .

Чтобы выразить через собственные состояния , вспомним, что согласно (2.22) 2)

Отсюда находим для :

что после интегрирования дает

или, после нормировки,

Последнее равенство показывает, что волновой пакет совершает незатухающие колебания с частотой как это изображено на фиг. 2.2. Для средних значений координаты и импульса имеем из (2.28)

Отсюда следует, что состояние является естественным квантовомеханическим обобщением классического гармонического движения; оно будет часто использоваться в дальнейшем.

При изучении более сложных систем мы будем придерживаться трактовки, изложенной выше на примере гармонического осциллятора, так как характерные черты этой простейшей модели присущи и всем сложным системам.