1.2. Колеблющаяся цепочка атомов.

Если, как это изображено на фиг. 1.1, означает смещение атома цепочки от положения равновесия. производную от этого смещения по времени и если гармонические силы, действующие между ближайшими соседями, носят гармонический характер, то уравнение движения имеет вид

Фиг. 1.1. Колеблющаяся цепочка атомов. Равновесное расстояние между атомами равно а, мгновенное смещение атома

Здесь мы положили массу атомов равной единице, через обозначили константу, определяющую силу, действующую между ближайшими соседями. Макроскопический участок такой цепочки представляет собой, конечно, систему с меньшей жесткостью. Если смещение всей цепочки из атомов равно то сила, стремящаяся возвратить отдельный атом в положение равновесия, равна лишь

Чтобы сделать систему связанных осцилляторов конечной, мы замыкаем цепочку из N атомов таким образом, что Задача. сформулированная в N уравнениях (1.1). может быть решена посредством введения нормальных координат. Это удобно сделать при помощи гамильтонова формализма, который будет в дальнейшем использован и при квантовомеханическом рассмотрении. Легко видеть, что гамильтониан (энергия) цепочки равен

а канонические уравнения Гамильтона имеют вид

что эквивалентно (1.1).

Определим нормальные координаты и импульсы равенствами

где в соответствии с периодическими граничными условиями, введенными выше, принимает значения любое целое число между . Поскольку величины вещественны, сами комплексны и удовлетворяют соотношениям

С помощью формулы

можно также обратить (1.3) и получить

Подставляя (1.3) в гамильтониан, находим с помощью (1.4) и (1.5)

Таким образом, в нормальных координатах уравнения движения, вытекающие из гамильтониана (1.7), независимы:

что получается также и при непосредственной подстановке (1.3) в (1.1). Решение (1.8) можно записать в виде

Уравнения (1.3) вместе с уравнениями (1.8) показывают, что движение нашей системы представляет собой суперпозицию колебаний с частотами многие из которых значительно меньше, чем в соответствии с малой жесткостью всей цепочки, о которой уже упоминалось выше. Этот хорошо известный факт служит, например, отправной точкой дебаевской теории теплоемкости (в противовес теории Эйнштейна). В квантовой механике мы увидим, что возбужденные состояния осцилляторов с энергиями во многих отношениях ведут себя как частицы. Осцилляции рассмотренного здесь типа представляют собой явление чрезвычайной общности. Они появляются в виде звуковых волн в твердых телах и жидкостях, в виде спиновых волн в ферромагнетиках и в виде поверхностных волн в ядрах, причем во всех этих случаях возбуждения осцилляторов с энергиями ведут себя аналогично частицам. По существу звуковые волны в жидком гелии — это самая близкая из всех известных механических моделей элементарных частиц.