Глава 4. ПОЛЯ

4.1. Непрерывно связанные осцилляторы.

Рассмотрим теперь, как действуют квантовомеханические методы в пределе непрерывной цепочки. В пределе но при конечном гл. 1)

а гамильтониан и уравнения поля приобретают вид

Как упоминалось в гл. 1, даже в непрерывном случае нормальные координаты образуют счетную последовательность. Поэтому проквантуем сперва теорию в этих переменных, а коммутационные соотношения для непрерывных координат изучим позднее. Переписывая (3.3) в форме (1.10), при

находим, аналогично (1.12), выражение для энергии:

где был использован непрерывный предел (1.5):

Теперь это — сумма по бесконечному числу несвязанных осцилляторов. В переменных с индексом k перестановочные соотношения (3.2) имеют вид

и, аналогично, соотношения для операторов а и определенных равенствами (3.7), имеют вид

С помощью этих операторов мы можем записать следующее выражение для энергии:

В соответствии с изложенным в гл. 3 находим, что собственные значения являются целыми кратными величины . Мы увидим в следующих главах, что k? имеет смысл импульса частицы с энергией Следовательно, если - скорость света и то энергия и импульс квантованного поля связаны таким же соотношением, как и в случае релятивистской частицы.

Непрерывная форма записи легко обобщается на трехмерный случай. Для механической модели поля смещений, которую мы до настоящего времени имели в виду, трехмерный случай несколько более сложен, так как поле в этом случае является векторным и имеет три компоненты. Однако при наличии только одного разрешенного направления для смещений трехмерной атомной решетки кристалла, например как это показано на фиг. 4.1, мы имеем дискретный аналог скалярного (эрмитова) поля . Именно этот простейший случай, как будет показано в дальнейшем, удовлетворительным образом описывает -мезоны, если отождествить v со скоростью света и с массой -мезона.

Трехмерная запись (3.1) имеет вид

Фактически мы записали уравнение Клейна — Гордона. Предвосхищая будущие обозначения, мы положим величину равной 1 и заменим на .

Фиг. 4.1. Механическая аналогия скалярного поля.

В кубе, длина стороны которого равна расположены колеблющиеся атомы, расстояние между которыми в положении равновесия равно а. Все атомы колеблются в одном направлении, выбранном здесь вдоль оси .

Трехмерные условия периодичности требуют, чтобы выполнялись равенства

Эти условия и уравнение движения (4.6) можно удовлетворить в аналогии с (3.17), если положить

Перестановочные соотношения (3.9) обобщаются следующим образом:

Вскоре мы дадим более общий рецепт для отыскания коммутационных свойств поля. Гамильтониан может быть записан в форме, сходной с (3.10), за исключением того, что сумма является теперь трехмерной:

Итак, мы получили замечательный результат, смысл которого заключается в том, что, применяя правила квантовой механики к полю, подчиняющемуся уравнению Клейна — Гордона. мы получаем систему, ведущую себя как совокупность неограниченного числа релятивистских бозе-частиц. Точнее говоря, мы получили по аналогии с (3.14) и (3.13) состояние

являющееся собственным состоянием гамильтониана Н с энергией Е:

Поэтому собственные функции удовлетворяют уравнению Шредингера для неограниченного числа частиц с Энергиями, задаваемыми равенствами

Поскольку применение оператора к вектору состояния с частицами приводит к частице, называют обычно оператором рождения и соответственно а — оператором уничтожения (поглощения).

Существуют поля другого типа, гамильтониан которых является не непрерывным аналогом гамильтониана системы связанных осцилляторов, а аналогом гамильтониана ларморовской прецессии электронных спинов. Можно показать, что в этом случае квантование при

водит к частицам, подчиняющимся статистике Ферми — Дирака. Рассмотрение таких полей, соответствующих полуцелому спину, выходит за рамки этой книги. Однако мы хотели бы заметить, что квантовая теория поля предсказывает экспериментально установленную связь спина и статистики.

Грубо говоря, переход к трем измерениям увеличивает число степеней свободы втрое. Это изменение не столь существенно, как предельный переход использованный в этой главе.

Наконец, обсудим в общих чертах предел когда нефизическое граничное условие (4.7) исчезает. В этом пределе векторы к в (4.8) образуют плотную последовательность, такую, что становятся непрерывными переменными, изменяющимися от до . Мы будем отмечать это обстоятельство, обозначая операторы уничтожения и рождения в этом пределе через Далее следует теперь заменить интегралом. Так как расстояние между двумя соседними точками в к пространстве равно , то их плотность равна и, следовательно, в этом пределе

Эта сумма с соответствующими весами, распространенная на все степени свободы, входит в большинство вычислений, ведущих к численным результатам, поэтому мы ввели для нее новое обозначение

При переходе к бесконечному числу степеней свободы возникает ряд вопросов, которые мы сейчас обсудим.

Прежде всего, поскольку теперь имеется бесконечное множество и они не имеют верхней границы, сумма, определяющая нулевую энергию

расходится. Этой трудности можно избежать, назвав

энергией, поскольку в настоящий момент мы не знаем, что представляет собой энергия нулевых колебаний поля. Можно было бы спросить, сходится ли бесконечная сумма (4.12) к определенному пределу. Однако этот вопрос связан с трудными вопросами о свойствах несепарабельных гильбертовых пространств, к ответу на которые мы еще не готовы. Читатель должен удовлетвориться тем фактом, что в случае состояний, включающих лишь конечное число возбужденных осцилляторов, применение Н дает конечную сумму.

Что касается другого характерного квантового свойства, а именно нулевых флуктуация то здесь бесконечное число степеней свободы также приводит к некоторым трудностям. Аналогично (2.15) и (3.15) находим

Сумма (4.13) расходится. Это лучше всего видно в пределе , где мы получаем:

Бесконечное значение квадратичной флуктуации связано с тем фактом, что дает состояние с бесконечной нормой, если применить его к любому состоянию с конечной энергией. Таким образом, не относится к операторам в том гильбертовом пространстве, с которым мы имеем дело. Оказывается, однако, что среднее значение в конечной области пространства имеет конечную квадратичную флуктуацию. Чтобы убедиться в этом, определим среднее значение поля в объеме равенством

откуда

Последнее выражение показывает, что по мере уменьшения объема по которому производится усреднение, флуктуации поля становятся все более и более сильными. Поскольку в процессе усреднения вклад длин волн, меньших размера b, исчезает, уменьшение объема ведет к увеличению общего вклада во флуктуации поля.

На первый взгляд кажется, что это должно привести к существеннейшим последствиям. Электромагнитные потенциалы V и А удовлетворяют уравнению типа (4.6) при Поэтому для средней квадратичной флуктуации V мы имеем:

что дает чрезвычайно большую величину, если вспомнить, что в наших единицах элементарный заряд Потенциал создаваемый элементарным зарядом на расстоянии b, оказывается много меньшим, чем квантовые флуктуации поля, усредненного по сравнимой области. Можно задать вопрос, как при этих условиях электрон в атоме водорода может двигаться по орбите, предписываемой силой, действующей на него со стороны протона. Ответ заключается в том, что большинство флуктуаций имеет частоту которая при см в 137 раз превосходит частоту движения электрона в основном состоянии. Флуктуации приводят лишь к высокочастотным вибрациям электрона с малой амплитудой. тогда как кулоновское поле действует относительно долгое время в одном направлении и определяет движение. Легко показать [2, 3], что амплитуда такой вибрации меньше, чем комптоновская длина волны электрона, см. Следовательно, этот эффект смещает атомные уровни меньше, чем релятивистские эффекты, которые приводят к размазыванию заряда электрона по области с размерами порядка комптоновской длины волны электрона. Это будет доказано для скалярных частиц в гл. 5. Тем не менее, современные эксперименты устанавливают действие квантовых флуктуаций в атоме водорода с точностью В мезодинамических приложениях, которые мы рассмотрим в дальнейшем, роль вакуумных флуктуаций поля особенно велика, так как мезон-нуклонное взаимодействие гораздо сильнее электромагнитного. Флуктуации непрерывно встряхивают спин и заряд нуклона, так как -мезонное поле существеннее действует на эти переменные, чем на координаты нуклона, с которым оно связано.