11.2. Связанные состояния.
Чтобы определить степень общности решений (11.7), необходимо еще рассмотреть решение однородного уравнения. Функция 
, определенная равенствами (11.12), есть детерминант Фредгольма уравнений (11.7). Как уже упоминалось ранее, если этот детерминант обращается в нуль при определенном собственном значении 
, то существует решение (11.7) с 
. Впоследствии мы выясним, когда это действительно имеет место, а сейчас отметим только, что при этом условии решение имеет вид
или
Эти выражения удовлетворяют (11.7), если
т. е. 
. Вскоре мы покажем, что полученное решение представляет связанное состояние, так что классическое поле, находящееся в этом состоянии, ведет себя особым образом.
Для того чтобы установить, когда (11.7) имеет решение с 
следует изучить свойства функции 
. Для вещественных значений k можно использовать тождество
которое позволяет разделить 
на вещественную 
и мнимую (D) части
Если 
функция, гладко стремящаяся к нулю при 
то, как видно из (11.6). D всегда отлична от нуля для вещественных значений k. Чтобы изучить аналитические свойства D в комплексной плоскости, заменим 
комплексной переменной 
Тогда
представляют собой граничные значения функции
при стремлении Z к вещественной оси сверху и снизу соответственно. Из (11.17) следует, что 
аналитична во всей комплексной плоскости, за исключением разреза вдоль положительной вещественной оси, где мнимая часть претерпевает скачок. Чтобы найти нули функции 
заметим, что функция
может быть равна нулю только при 
. Поэтому, чтобы определить нули 
достаточно исследовать отрицательную часть вещественной оси.
В этой области 
и поскольку к тому же 
если 
мы приходим к следующим возможностям:
Сформулированные условия изображены графически на фиг. 11.1. Можно было ожидать заранее, что связанные состояния появляются лишь при 
так как отрицательный знак соответствует притяжению, и мы таким образом видим, что принятый нами вид потенциала допускает лишь одно связанное состояние. Из обычной квантовой механики хорошо известно, что даже при наличии притяжения связанное состояние не образуется, если потенциальная энергия слишком мала, чтобы перекрыть кинетическую энергию нулевых колебаний. Здесь это соответствует случаю, когда 
но 
