3.3. Вопросы динамики.

Для зависимости операторов поля от времени мы получаем по аналогии с (2.20) — (2.22) следующие уравнения:

и

Последнее равенство дает ту же временную зависимость, что и случай классического решения уравнений (1.8). Решение (3.17) представляет собой наиболее общую суперпозицию колебаний с собственными частотами с тем существенным отличием, однако, что коэффициенты разложения теперь являются операторами.

По аналогии с концом предыдущей главы мы можем построить стандартный волновой пакет, в котором атом при смещен из положения равновесия на Общее состояние такого рода определяется равенством

для всех значений s.

Для действительных ожидаемое значение координаты в момент t соотцетствует классическому движению, вызванному начальным смещением атомов и нулевой начальной скоростью

Макроскопическую звуковую волну с частотой и амплитудой d можно представить в виде (13.18), при принимающих комплексные значения Называя это состояние имеем

и следовательно, оно соответствует распределению Пуассона для фононов соответствующей частоты со средним числом фононов

Для решения, зависящего от временя, находим

а средние положения в этом случае даются простой формулой

Если мы хотим, чтобы такое квазиклассическое движение было наблюдаемо, необходимо., чтобы смещение d. было много больше амплитуды нулевых колебаний. Последняя, как можно вздеть из (3.15), равна по порядку величины если все частоты порядка Поскольку среднее число фононов равно то указанное условие означает, что оно должно быть 1. В состоянии с определенным числом п? фнонов ожидаемые значения всех равны нулю. Этот факт обычно формулируется в виде утверждения, что фазы волн, связанных с фононами, полностью неопределенны.

В заключение можно сказать, что звуковые волны и фононы представляют как классический, так и квантовомеханическй аспекты колебательных систем и являются обобщением того, что было найдено нами для гармонического осциллятора.