2.2. Свойства собственных состояний Н.

Состояние соответствующее подчиняется условию

а состояние с собственным значением получается -кратным применением :

Здесь точный нормировочный множитель, если нормирована. В этом легче всего убедиться методом индукции:

Используя это равенство раз, мы придем в конце концов к равенству

Этот метод можно применить для получения явного выражения как функций пространственной переменной q. Так как в этом представлении , то

откуда следует, что нормированная волновая функция основного состояния имеет вид

Высшие возбужденные состояния получаются теперь применением дифференциального оператора

Протяженность волновой функции основного состояния по порядку величины равна что соответствует квантовомеханической флуктуации координаты q около нулевой точки, как показано на фиг. 2.1. Формально мы можем определить эту величину следующим образом:

где q означает среднее значение q. Как легко видеть равенства (2.10) и эрмитово сопряжённого равенства, q равно нулю:

Этот результат очевиден также вследствие соотношения Таким же образом находим, что

С физической точки зрения этот результат представляет собой прямое следствие соотношения неопределенностей Наинизшая энергия не получается локализацией частицы строго на дне ямы, так как это привело бы к большой величине Др и, следовательно, к большой величине кинетической энергии. Так как средние значения координаты и импульса равны нулю, то среднее значение энергии оказывается равным Если это выражение минимизировать по при ограничении мы найдем, что его минимум достигается при и равен . Это значит, что энергетически наиболее выгодная ситуация соответствует

величине, близкой к (2.16), причем нулевая энергия оказывается равной не нулю, как в классическом случае, а . Квантовомеханические флуктуации подобного типа обычно малы, но иногда приводят к макроскопическим эффектам. Например, они препятствуют затвердеванию жидкого гелия при нормальном давлении.