5.4. Локальные наблюдаемые.

До сих пор мы рассматривали наблюдаемые, которые имели форму интегралов по всему пространству. При этом по существу предполагалось, что подынтегральное выражение представляло собой соответствующую локальную плотность, а интеграл по конечному объему — часть наблюдаемой величины, содержащуюся в этом объеме. Однако величины, проинтегрированные по всему объему могут не коммутировать с билинейными по полю операторами, такими как плотность импульса Поэтому состояния, с которыми мы до сих пор имели дело, не являются, вообще говоря, собственными состояниями таких локальных величин как плотность импульса. Это станет совершенно очевидным в следующей главе, где рассматриваются непосредственно сами состояния.

Для локальных величин имеется существенное отличие между релятивистским и нерелятивистским случаями, которые мы сейчас изучим. Если определить число частиц в объеме v как

То для нерелятивистского поля

а для релятивистского —

В нерелятивистском. случае из перестановочных соотношений (4.22) следует, что

независимо от. того, перекрываются объемы или нет. Это значит, что можно говорить об определенном числе нерелятивистских частиц, например 1, в любом объеме независимо от того, насколько он мал или велик. Правда, это число не остается постоянным, поскольку

и поверхностный интеграл, к которому сводится выписанное выражение, остается конечным для конечных объемов; однако это означает только то, что волновой гакет для локализованной частицы расползается с течением времени. Для релятивистского поля рестановочное соотношение (5.28) не имеет места, даже если объе мы не перекрываются. Это происходит из-за дополнительного

множителя вследствие которого оказывается не равным нулю коммутатор

Вид этого коммутатора можно найти следующим образом:

Подстановка дает

Мы видим, таким образом, что коммутатор ведет себя как функция Ханкеля первого рода которая обладает следующими свойствами

Поведение этого коммутатора при асимптотически больших определяется в (5.296) в основном экспонентой вычисленной в комплексном полюсе

Соответственно для коммутатора локальной плотности с плотностью в другой точке пространства гвзятой в тот же момент времени t, мы находим

где

Здесь мы использовали алгебраическое тождество

и условие

Интеграл для в той форме, как он приведен здесь, расходится, однако его можно привести к сходящемуся посредством выделения нужного числа степеней k в знаменателе за счет дифференцирования по . Для больших расстояний характер поведения так же определяется экспонентой при

Фиг. 5.1. Распределение мезонов вблизи двух неперекрывающихся объемов и, и разделенных расстоянием s, много большим комптоновской длины волны частиц

Таким образом, для рассматриваемого релятивистского поля коммутатор локальной плотности с плотностью, взятой в другой пространственной точке, но в тот же момент времени стремится к нулю, только если точки разделены интервалом . То же утверждение сохраняется и для чисел частиц, заключенных в двух непересекающихся объемах как это показано на фиг. 5.1. Здесь -комптоновская длина волны частицы; например для -мезона она равна 10 см.

Поэтому невозможно утверждать, что один -мезон (или другое определенное число их) находится в объеме, границы которого определены с точностью порядка см или большей. Это было бы справедливо, только если бы это состояние было собственным

состоянием с собственным значением 1 для рассматриваемого объема и собственным значением 0 для всех соседних объемов, расположенных на расстоянии не более чем от первого. Однако вследствие некоммутативности таких близлежащих это невозможно. Лучшее, что можно сделать в релятивистском случае, — это получить равное нулю собственное значение для тех V, которые отстоят от объема, содержащего частицу на расстояниях, много больших . Физически это связано с тем фактом, что столь точное определение границы, требует использования внешнего поля, частично содержащего длины волн . В таком поле могут возникать новые частицы. Вследствие тождественности частиц в теории поля новые частицы невозможно отличить от старых. Поэтому рассматриваемое состояние перестает быть. одночастичным.

Таким образом, оказывается, что фундаментальные принципы релятивизма и квантовой теории приводят к важной модификации наших понятий о частицах. В то время как в нерелятивистском пределе они ведут себя как точки и не существует нижнего предела для величины объема, в который их можно заключить, в релятивистской теории поля кванты поля имеют размеры, грубо говоря, равные их комптоновской длине волны. В этом заключается начальная причина уменьшения электромагнитных взаимодействий, когда в рассмотрение включаются длины волн Электрон, например, ведет себя как заряженная сфера радиуса , а эффект меньших длин волн исчезает при усреднении. Поэтому сечение рассеяния фотонов на электронах для фотонных длин волн начинает падать [6]. Аналогичным образом этот же эффект уменьшает связь -электрона в атоме водорода, поскольку размеры электрона не допускают для него полного использования узкой сингулярной части кулоновского потенциала.

Подводя итог, мы можем сказать, что в квантовой теории поля наблюдаемые ведут себя как соответствующие величины в случае ансамбля свободных частиц. Вопрос о размерах частиц и другие свойства локальных величин будут глубже рассмотрены при обсуждении типичных собственных состояний в следующей главе.