18.4. Низкоэнергетический и высокоэнергетический пределы упругого рассеяния.

В нашем случае, как и в модели Ли, можно определить перенормированную константу связи так, чтобы физически недостижимый предел амплитуды при задавался борновским приближением при замене на . В пределе сингулярный член вносит наибольший вклад. Вспоминая определение (18.5) для , мы видим, что в нашем случае остаются лишь матричные элементы от между фиаическими однонуклонными состояниями. Они были уже рассмотрены в предыдущей главе; мы находим, что

где матричное умножение и предполагает суммирование . Помимо множителя этот результат совпадает с результатом теории возмущений.

Фиг. 18.2. Диаграммы для вычисления -матрицы в наинизшем порядке теории возмущений.

В последнем случае матричный элемент можно вычислить с помощью двух (фейнмановских) диаграмм, изображенных на фиг. 18.2, и мы получаем

что соответствует (18,19) с Таким образом,

Точно так же, как и в модели Ли, интерпретация равенства

заключается в том, что время между испусканием и поглощением внешнего -мезона гораздо больше времени всех виртуальных процессов. Нуклон в промежуточном состоянии оказывается поэтому практически реальным, и мы получаем борновское приближение, за исключением дополнительного множителя . Этот множитель имеет то же вероятностное истолкование, что и в случае модели Ли. Константа представляет силу взаимодействия различных компонент физического нуклона, взятых с весами, пропорциональными вероятности их появления.

В высокоэнергетическом пределе можно пренебречь величиной в знаменателе (18.13) по сравнению с z. Тогда

Это выражение для t совпадает с борцовским приближением, за исключением того, что матричный элемент берется между физическими нуклонными, а не между голыми нуклонными состояниями. Иными словами, в рассматриваемом пределе амплитуда задается борновским приближением для рассеяния между различными состояниями голого нуклона, умноженным на амплитуды, с которыми эти состояния появляются в физическом нуклоне. Эти амплитуды легко можно найти, исходя из того факта, что за вычетом известной зависимости от импульса коммутатор в формуле (18.21) пропорционален выражению

где величина равна ±1 в зависимости от четности перестановки тройки чисел а, относительно конфигурации 1, 2, 3. Таким образом, с помощью (17.3) мы находим, что в пределе бесконечной энергии -матрица представляется в виде борновского приближения, умноженного на :

Теорема о поведении амплитуды при нулевой энергии служит, ее роятно, наиболее важным инструментом, позволяющим связать теорию с экспериментом, высокоэнергетический же предел представляет чисто академический интерес, так как находится вне области применимости модели. Ясно, что в этом пределе пренебрежение отдачей и рождением пар (и использование источника конечных размеров) не может иметь смысла.