Глава 14. МОДЕЛЬ ЛИ: СОСТОЯНИЯ С Q=-3/2

14.1. Рассеяние. Уравнение Лоу.

Для состояний, не рассмотренных в предыдущей главе, задача также может быть сведена к интегральным уравнениям для волновых функций виртуальных -мезонов. Такие уравнения невозможно, однако, решить, в общем виде, и поэтому мы не будем выводить их. С экспериментальной точки зрения волновая функция виртуальных -мезонов не представляет особого интереса так как ббльшая часть информации, которую она может дать, недоступна Для проверки При современной технике эксперимента. Легче всего может быть измерено сечение рассеяния, и поэтому следует сосредоточить усилия на вычислении фазового сдвига как функции от энергии. Мы рассмотрим сейчас очень важный метод получения общих свойств фазовых сдвигов, минуя вычисление полной волновой функции мезонов.

Для простоты мы ограничимся в этой главе случаем и будем обозначать физическое нуклонное состояние (протона или нейтрона) через Оба физических нуклона имеют тогда одинаковую энергию (массу) ; интересующая нас величина оказывается матричным элементом -матрицы (8.23):

Уравнение (13.9) и аналогичные уравнения для

показывают нам, что состояние с падающей плоской волной представляет собой уходящую плоскую волну с тем же импульсом плюс нечто, связанное с . Очевидно, что это должна быть искомая рассеянная волна.

Если состояние относится к протону, мы можем использовать (13.18) (или аналогичное равенство для операторов ), чтобы вывести явное выражение для Поскольку пропорционально и поскольку

мы получаем

откуда видно, что сферическому источнику соответствует Сферически симметричная рассеянная волна. Сравнивая (14.2) и (14.3) с (8.24), можно видеть, что А есть ; это согласуется также с (13.33).

Вообще можно получить матричный элемент -матрицы из (14.2), используя известную зависимость от времени матричных элементов между собственными состояниями гамильтониана. Так,

При выводе (14.4) мы использовали тот факт, что

поскольку энергия обоих физических состояний была подобрана равной нулю. Вообще говоря, Т-матрица есть функция обеих переменных , однако вследствие сферической симметрии задачи и сохранения энергии здесь эта матрица зависит от единственной переменной k.

Соотношение между Т-матрицей и фазовым сдвигом можно найти из (14.3) или непосредственно из (8.30); оно имеет вид

Г-матрица, определенная равенством (14.4), не зависит, конечно, от времени. Для последующего обсуждения она более удобна, чем -матрица, поскольку присущая последней сингулярная часть в Г-матрице выделена. Таким образом, Г-матрица окажется аналитической функцией энергии.

Из (1.4.4) следует, что амплитуду рассеяния Г (А) можно получить из анализа по -состояниям с энергией w. Используя тот факт, что коммутирует с и что мы можем переписать последнее выражение в следующей форме

Уравнение (14.5) называют обычно уравнением по имени его автора.