18.5. Диагоиализация Т-матрицы.

Чтобы использовать формализм, рассмотренный в конце гл. 8, мы займемся сейчас диагонализацией -матрицы t. Поскольку при взаимодействии угловой момент и изоспин сохраняются мы ожидаем, что диагонализацию удается осуществить посредством перехода от одномезонных состояний к представлению, в котором диагональны. В самом деле, поскольку эти переменные

вместе с энергией полностью определяют одномезонные состояния, мы имеем

Чтобы связать фазовый сдвиг с Т-матрицей, обратимся к результатам гл. 8. Поскольку здесь множитель в (8.30) равен просто . Далее, можно спроектировать T-матрицу на соответствующие состояния J и Г с помощью операторов проектирования

причем

и

В одномезонном подпространстве могут принимать только значения и 3/2. Поскольку совпадают, получается всего три различных фазовых сдвига: Если ввести для них индексы 1, 2, 3, то S принимает вид, иллюстрируемый фиг. 18.3. Операторы проектирования на эти подпространства строятся обычным образом с

Нормировочные множители выбраны таким образом, что для одномезонного подпространства

Фиг. 18.3. Вид S-матрицы. Все не диагональные матричные элементы равны нулю, а диагональные показаны на рисунке.

Матричные элементы t и I в одиомезонном подпространстве соответствуют просто представлению и имеют вид [ср. с (15.12), (15.13) и (5.13)] 0

так что мы получаем, например,

Возвращаясь к сокращенным обозначениям, запишем матричные элементы операторов проектирования (18.28) в представлении углового момента как

Мы вскоре встретимся с выражениями где мезонные индексы поменялись местами, а нуклонные индексы следуют в обычном порядке. Поскольку такая операция меняет знак 1 и t, эти операторы можно выразить в виде линейной комбинации прежних:

Прямой подстановкой находим, что А имеет вид

Из таких свойств матрицы А, как следует, что А имеет собственные значения

Учитывая сказанное, можно немедленно установить, как ведет себя Т-матрица в окрестности нулевой энергии. Подстановка (18.29) и (18.32) в (18.19) дает

Величина есть собственный вектор А с собственным значением, равным —1:

Чтобы получить величины с простыми аналитическими свойствами, введем функцию

для которой получаем из (18.16) и (18.17)

или

Отсюда видно, что можно продолжить в комплексную плоскость, где они имеют следующие свойства:

Их связь с фазовыми сдвигами, как можно видеть, сравнивая (18.35) с (18.25), задается равенствами

Связь функций h с полными сечениями определяют соотношения

При этом полные сечения в Р-волновом канале дает формула

Это определение таково, что сечение (8.34) для неполяризованной мишени и определенного значения изоспина равно

Следует отметить, что при возможно рождение частиц, а фазовые сдвиги, описывающие одночастичный канал, становятся комплексными. Тем не менее равенство (18.39) применимо и в этом случае, поскольку оно представляет собой следствие общего уравнения (8.28). Таким образом, уравнения Лоу можно записать в следующей окончательной форме: