Глава 2. ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР

2.1. Собственные значения Н.

Для полей, рассмотренных в гл. 1, было показано, что их уравнения движения аналогичны уравнениям движения простого гармонического осциллятора или системы связанных гармонических осцилляторов. Поэтому теперь мы изложим квантовую теорию гармонического осциллятора в форме, удобной для дальнейших исследований. Как будет установлено в следующих главах, квантовомеханическое рассмотрение системы связанных осцилляторов или полей представляет собой непосредственное обобщение теории этой системы с одной степенью свободы. Более того, уже в элементарном случае гармонического осциллятора мы сталкиваемся в простейшей форме с типичными квантовыми свойствами полей.

Наша задача определяется гамильтонианом

Координата q и импульс являются теперь операторами, подчиняющимися перестановочному соотношению

Типичное предсказание квантовой теории заключается в том, что измерение некоторой наблюдаемой величины не может дать произвольный результат, но лишь собственное значение оператора, связанного с этой величиной. Мы должны поэтому искать собственные значения таких наблюдаемых величин как энергия (2.1). К этой задаче можно подойти с разных сторон. Можно, например, удовлетворить (2.2), представив в форме дифференциального оператора - , и решить дифференциальное уравнение, к которому приводит задача на собственные значения, . Но это — не кратчайший путь, и для нашей цели более удобным оказывается чисто алгебраический

метод. Введем операторы, которые соответствуют амплитуде классического движения:

ИЛИ

Из (2,2) следует, что перестановочные соотношения для а и имеют вид

Используя операторы (2.4) и соотношения (2.5), легко выразить гамильтониан через а и

Поскольку операторы координаты и импульса q и не коммутируют с гамильтонианом, операторы а и также не коммутируют с ним. Из (2.5) и (2.6) следует, что

Форма перестановочных соотношений (2.7) позволяет сделать заключение о собственных значениях Н. Применяя их к собственной функции оператора Н с собственным значением Е: находим

Это равенство показывает, что также является собственной функцией Н с собственным значением . Аналогичным образом из другого соотношения (2.7) следует, что для собственное значение равно Отсюда видно, что мы имеем дело с последовательностью равноудаленных собственных значений Н с интервалом Однако рассматриваемая последовательность должна быть где-то ограничена, поскольку произведение положительно определено, к И не может поэтому иметь отрицательных собственных значений. Это условие требует, чтобы для определенного состояния выполнялось соотношение . В этом случае уже невозможно получить

более низкого собственного значения применением а. Из (2.6) видно, что есть собственная функция Н с собственным значением . Далее, наше условие определяет однозначно, так что мы имеем только одну последовательность собственных значений. Полученные результаты можно просуммировать следующим образом.

Фиг. 2.1. Потенциал гармонического осциллятора, собственные значения энергии и волновая функция основного состояния

Спектр собственных значений Н показан на фиг. 2.1 и определяется формулой

где — неотрицательное целое число.