18.3. Свойства матрицы рассеяния.

Из вида уравнения (18.10) можно вывести некоторые важные заключения.

а. Унитарность. Для случая, когда присутствует один физический мезон, выполняющееся всегда условие можно записать в явном виде в следующей форме:

Обращение в нуль скобок в (18.11) можно доказать с помощью подстановки (18.10) в разность . Второй член (18.10) выпадает, а первый дает сумму

Аналогичным образом можно показать, что и . Нелинейный характер первого члена (18.10) связан с унитарностью . Второй член не дает непосредственно вклада в условие унитарности, однако

он совершенно необходим для обеспечения перекрестной симметрии, к обсуждению которой мы переходим.

б. Перекрестная симметрия. Перекрестная симметрия T-матрицы выражается наиболее удобным образом, если рассматривать отдельно зависимость Т от переменной в знаменателе в противовес зависимости известной явно. С этой целью введем функцию

зависящую от комплексной переменной z и обладающую тем свойством, что

В физической области величина появляющаяся [после подстановки (18.14)] в знаменателе второго члена в (18.13), не играет роли. Она необходима, однако, для выполнения условия эрмитовости

и перекрестной симметрии , которая математически формулируется следующим образом:

Эта теорема аналитического продолжения проверяется непосредственно с помощью (18.13). Она не зависит от явного вида и, как можно показать, справедлива для любой мезон-нуклонной связи, включающей и поглощение, и испускание мезонов [3] (так, она не выполняется в модели Ли, но остается в силе для нейтральной скалярной теории и т. д.). Эта симметрия связана с инвариантностью теории по отношению к перестановке падающего и рассеянного мезонов в смысле, который явно определен через уравнение (18.156). Она не имеет никакой интуитивной основы, поскольку мы имеем здесь дело с соотношением между физической амплитудой рассеяния и ее значениями в нефизической области отрицательных энергий. Теоремы (18.15) по существу связаны с аналитическими свойствами -матрицы для вещественных и комплексных энергий.

в. Полюсы, точки ветвления и разрезы. Аналитические свойства матрицы задаются явно уравнением (18.13) и определяются энергетическим спектром промежуточных состояний п. Сумма по всем состояниям содержит вклад от основного состояния при и непрерывный спектр от 1 до . Поэтому t имеет следующую спектральную форму:

где первый член связан с основным состоянием, a F и G представляют собой весовые функции. Эти функции можно вычислить из (18.13) и (18.15):

Таким образом, t имеет полюс в начале координат с вычетом R, равным

где суммирование по С включает четыре физических основных состояния. Кроме того, -матрица имеет также разрезы от 1 до и от -1 до , как это показано на фиг. 18.1.

Фиг. 18.1. Сингулярности -матрицы в комплексной плоскости .

Разрез вдоль отрицательной полуоси возник вследствие перекрестной симметрии; в модели Ли он поэтому отсутствовал.