14.3. Поведение T{k) при низких и высоких энергиях.

В заключение мы получим из (14.9) и (14.5 а) низко- и высокоэнергетическое поведение . С этой целью рассмотрим

как функцию w. Член с в уравнении (14.9) регулярен при поскольку Первое же слагаемое имеет полюс при с вычетом, равным Поэтому этот член будет главным при т. е.

Таким образом, мы получаем для системы тот же результат, что и для системы [см. (14.5а)], а именно: при точный результат равен борновскому приближению, вычисленному с перенормированной константой связи. В пределе можно заменить знаменатель под знаком 2 в (14.9) величиной —w, если только сумма сходится достаточно быстро. Вынося множитель из всего выражения, мы видим, что оставшаяся величина представляет собой не что иное, как коммутатор при равных временах. Последний, однако, равен и мы получаем

Это выражение становится более прозрачным, если переписать его в виде

то есть

B этой форме результат аналогичен найденному в случае рассеяния в системе По существу уравнение Лоу позволило нам получить его, минуя решение уравнения Шредингера.

Физический смысл низкоэнергетических и высокоэнергетических пределов можно понять, разбивая процесс рассеяния на элементарные акты взаимодействия между голыми частицами. Это соответствует

разложению Т по степеням g; Борновское приближение состоит в том, что берется наименьшее число процессов. При рассеянии оно соответствует поглощению начального и испусканию рассеянного -мезона. При рассеянии -мезона все процессы должны идти в обратном порядке по сравнению с процессами, приводящими к рассеянию.

Фиг. 14.1. Диаграмма для физического нейтрона.

Это иллюстрируется диаграммами, изображенными на фиг. 14.2. Высшие приближения поддают новые столкновения -мезона и „одевание" нейтрона. Для четвертого порядка g это иллюстрируется фиг. 14.3. Представим себе теперь, что энергия внешнего -мезона растет по сравнению с энергиями виртуальных мезонов. В этом случае промежуток времени между испусканием и поглощением должен быть чрезвычайно коротким, поскольку он связан с неопределенностью в энергии нуклона , величина которой определяется энергией внешнего -мезона (поглощаемого и испускаемого):

Фиг. 14.2. Диаграммы рассеяния -мезонов на протонах и нейтронах.

Следовательно, для рассеяния вклад от диаграммы фиг. 14.4. а будет доминировать по сравнению с вкладом от других диаграмм, в которых присутствуют (промежуточные) виртуальные -мезоны, как это изображено на фиг. 14.4, б и в. Высокоэнергетический предел при -рассеянии Определяется поэтому борновским приближением. Для системы

рассеяние может происходить таким образом, что в течение некоторого времени существует голый протон. Таким образом, в пределе высоких энергий мы имеем как рассеяние на голом нейтроне, (фиг. 14.5, а), так и рассеяние на голом протоне (фиг. 14.5, б), но в обоих случаях виртуальные (промежуточные) мезоны не испускаются и не поглощаются между взаимодействиями с внешним мезоном.

Фиг. 14.3. Диаграммы порядка g для -рассеяния (а) и для -рассеяния (б и в).

Вклад от процессов последнего рода, изображенных на фиг. 14.5, в, опять будет мал по сравнению с основными процессами, и мы вновь получим борновские амплитуды для рассеяния на двух видах частиц, взятые с весом, пропорциональным соответствующим вероятностям.

Чтобы подойти к вопросу о низкоэнергетическом пределе, рассмотрим сперва вымышленный случай, когда внешний мезон не имеет массы покоя, так что его энергию можно сделать много меньшей энергии виртуальных -мезонов. При таких условиях из соотношения неопределенностей следует, что время между взаимодействиями с внешней частицей будет много больше времени виртуальных процессов. В случае -рассеяния это означает, что после поглощения внешнего -мезона нуклон практически становится физическим

нейтроном, как это изображено на фиг. 14.6. Однако поскольку поглощение внешнего -мезона превращает протон в голый нейтрон, это может произойти только в течение той доли времени, когда физический нейтрон (из промежуточного состояния) находится в состоянии голого нейтрона.

Фиг. 14.4. Диаграммы, иллюстрирующие свойства -рассеяния при высоких энергиях.

При наличии двух таких элементарных процессов (испускание и поглощение внешнего -мезона) мы получаем следующее выражение для сечения рассеяния в рассматриваемом пределе

То же самое относится и к случаю -рассеяния, где в рассматриваемом пределе существенным оказывается вклад диаграмм высших порядков, изображенных на фиг. 14.7, а, и несущественным — вклад диаграмм, изображенных на фиг. 14.7, б. Для указанные заключения остаются справедливыми в пределе , но

поскольку это — нефизическая область, то здесь низкоэнергетическое поведение имеет смысл только в этом экстраполяционном смысле, Вообще можно утверждать, учитывая способ определения константы g, что она измеряет силу элементарного взаимодействия между голым нуклоном и -мезоном.

Фиг. 14.5. Диаграммы, иллюстрирующие свойства -рассеяния при высоких энергиях.

С другой стороны, определяет силу элементарного взаимодействия между физическим нуклоном и -мезоном. Это следует из того, что быстрых процессах мы имеем дело с голыми частицами-источниками и, следовательно, с константой g; в медленных — с физическими частицами-источниками и потому — с Поскольку при высоких энергиях

ситуация становится очень сложной. в общем случае можно измерить только . Даже и эту константу невозможно получить непосредственно, поскольку энергия недостижима экспериментально.

Фиг. 14.6. Диаграммы, иллюстрирующие низкоэнергетический предел -рассеяния.

Однако если низкоэнергетические значения фазовых сдвигов можно экстраполировать к этой энергии, или если член в скобках в знаменателях (14.14) и (14.5 а) можно приближенно разложить в ряд по для малых, но физических энергий, то возможно и непосредственно получить g из измерения сечений.

Фиг. 14.7. Диаграммы, иллюстрирующие низкоэнергетический предел -рассеяния.

Мы рассмотрим этот вопрос ниже в последней части книги.

Время от времени появляются исследования по различным видоизменениям и обобщениям модели Ли. В одной из модификаций, предложенной Ван-Ховом, введено ограничение числа степеней свободы, но допускается существование более одного мезона в облаке, окружающем физический нуклон. В этом обобщении сохраняется один тип кванта поля, , но разрешаются два процесса

Эта теория имеет ряд преимуществ перед моделью Ли; она допускает точное решение для связанных физических состояний. Основное преимущество этой теории для нас заключается в том, что из нее легко видеть связь между нейтральной скалярной теорией (гл. 9 и 10) и моделью Ли. Так, если физические массы V и частиц одинаковы и , то теория сводится к нейтральной скалярной теории, за исключением дублирования состояний. Подробное обсуждение этой теории увело бы нас однако слишком далеко в сторону, поэтому мы отошлем читателя к оригинальным работам Руийгрока и Ван-Хова [6-8].