9.2. Энергия связанной системы.

Чтобы исследовать собственные состояния полной энергии, мы выразим гамильтониан Н через и с помощью (8.18) получим

В (9.5) фурье-компонента была обозначена через

а величина, комплексно сопряженная ей — через . Можно также выразить через операторы . Используя тот факт, что

находим:

Вследствие этого равенства появляющиеся в Н перекрестные члены от произведения исчезают, и мы получаем

где

и

То, что окажется постоянным числом, коммутирующим с , можно было предвидеть заранее. Поскольку зависят от времени как свободные поля, гамильтониан, выраженный через эти операторы, должен сводиться к и некоторой части, коммутирующей с

Фиг. 9.1. Спектры собственных значений . Энергетический сдвиг между этими спектрами равен .

Заметим, что и не зависят от времени, а и Н зависят. Через операторы, введенные в (8.17), мы получаем (энергия нулевых колебаний Уже вычтена)

Спектр собственных значений Н имеет, следовательно, ту же форму, что и для свободных полей, с тем отличием, что он сдвинут вниз на величину как показано на фиг. 9.1. Эта величина представляет собой энергию „связи" виртуальных частиц, хотя энергия взаимодействия Н никоим образом не есть обычный потенциал. Тот факт, что энергия физического основного состояния оказалась меньше нуля, показывает, что взаимодействие в рассматриваемой задаче принадлежит к широкому классу взаимодействий, понижающих

энергию основного состояния. Такое понижение всегда имеет место, когда применима теория возмущений, так как при этом

Физически это означает, что благодаря взаимодействию в основном состоянии возникает возможность перехода к состоянию с более низкой энергией.

Энергия называется «энергией перенормировки» или иногда „массой перенормировки". Последний термин должен быть ясен в свете последующего изложения, в котором будет использоваться релятивистская эквивалентность массы и энергии. Можно считать, что статический источник имеет механическую массу . Тогда гамильтониан Н становится равным . Голые собственные состояния (оператора ) представляют источник и поле без взаимодействия. Когда последнее включается, наинизшим физическим состоянием становится собственное состояние Не энергией Масса М есть физическая масса источника; она отличается от механической массы, обусловленной взаимодействием между источником и полем. В этом смысле можно также называть собственные состояния голыми состояниями, а собственные состояния Н — физическими состояниями.

Для точечного источника мы находим, что и что энергия линейно расходится. Однако способа наблюдать эту энергию, какой бы ни была ее величина, не существует, коль скоро источник всегда окружен облаком из квантов . Поскольку -наблюдаема, ее можно вычесть из Н, так что