Глава 5. НАБЛЮДАЕМЫЕ

5.1. Энергия, импульс и угловой момент.

Исходя из нашей механической аналогии, мы рассмотрели пока только две наблюдаемые величины: полную энергию и амплитуду поля . В непрерывном пределе последняя не была оператором в том смысле, что применение к состоянию с конечной нормой приводило к состоянию с бесконечной нормой [см. (4.14)]. Таким образом, нам предстоит обратиться к некоторым другим наблюдаемым для обсуждения свойств квантованного поля. В классической теории поля существуют определенные общие способы построения таких величин, как импульс или угловой момент поля для заданного лагранжиана. В настоящей главе мы изучим эти и другие наблюдаемые вместе с их коммутационными свойствами; следующая глава будет посвящена собственным состояниям их операторов.

Как и в механике материальной точки, инвариантность лагранжиана относительно определенных преобразований обеспечивает существование соответствующих констант движения. Мы уже сталкивались с одним примером этого общего принципа, а именно с существованием энергии. Если, и только если лагранжиан не зависит явно от времени, энергия (4.19) сохраняется. Читатель легко проверит формулу

где не включает неявную зависимость от времени, входящую через член . Аналогично, если L не зависит от координат (примером могут служить лагранжианы, рассмотренные в гл. 4). что означает инвариантность относительно пространственных сдвигов и вращений, то мы получаем еще шесть интегралов движения (по одному на каждый параметр рассматриваемой группы). В классической механике интегралы движения, связанные с инвариантностью (для сдвигов и вращений это соответственно полный импульс и угловой момент), являются операторами определенного преобразования. Инвариантность классического гамильтониана относительно таких

преобразований обеспечивает равенство нулю скобок Пуассона между гамильтонианом и операторами преобразований, что означает сохранение последних. Это же остается справедливым и в квантовой теории, где скобки Пуассона заменяются коммутатором. Поэтому импульс и угловой момент определяются в общем виде как операторы, для которых коммутатор с любой величиной дает изменение этой величины при бесконечно малых смещении и повороте.

Здесь необходимо вспомнить, что наша задача еще не инвариантна относительно вращений из-за кубических условий периодичности, наложенных на наши поля. Однако инвариантность можно получить, наложив сферически симметричное граничное условие, например,

Мы будем иметь в виду это условие при обсуждении полного углового момента. В классической теории твердых тел показано, что частный вид граничного условия не существен для больших систем и играет вспомогательную роль при математическом описании. Случай, представляющий физический интерес, характеризуется пределом Соответственно форма граничных условий не должна входить и не входит в результаты, имеющие физическое значение, что соответствует преобладанию объемных эффектов над поверхностными. Физические результаты всегда будут выводиться для состояний, в которых поле возбуждено лишь в конечных областях пространства. Для этих состояний операторы поля на бесконечности практически равны нулю. Имея это в виду, мы будем в дальнейшем пренебрегать поверхностными интегралами по бесконечно удаленным поверхностям.

Для релятивистского и нерелятивистского полей полный импульс и угловой момент оказываются равными

С помощью (4.19), например, находим

и аналогичные уравнения для д. Иными словами коммутаторы Р и L с оператором поля дают изменения этих величин соответственно при бесконечно малых смещении и повороте. Поскольку гамильтониан инвариантен относительно этих операций, мы имеем

Согласно (2.19), это означает, что Р и L не зависят от времени. На самом деле соотношение (5.5) можно также проверить с помощью уравнений поля. Отсюда нетрудно видеть, что с помощью уравнения Клейна — Гордона выражения для Р и L можно преобразовать к бесконечным поверхностным интегралам. Одыако простое вычисление показывает, что Р и L не коммутируют; действительно, перестановочные соотношения между ними такие же, как и в элементарной квантовой механике:

где полностью антисимметричный тензор третьего ранга, например, В действительности существует очень общая причина, приводящая к (5.6). Поскольку L и Р генерируют бесконечно малые повороты и смещения, перестановочные соотношения между ними должны быть такими же, как соотношения для операторов поворота и сдвига. Точно так же можно показать, перестановочные соотношения между компонентами L имеют обычную форму

Подставляя выражения (4.8) или (4.3) в (5.3), мы получаем с помощью наших обычных методов

Как было установлено ранее, операторы имеют целые собственные значения, откуда мы заключаем, что состояние

есть также собственное состояние Р, принадлежащее собственному значению . Наша корпускулярная интерпретация подтверждается теперь уравнением (5.8), вследствие которого импульс к оказывается связанным с энергией . Собственные значения импульса являются, следовательно, целыми кратными величины к. Сходство с задачей о собственных значениях энергии формально возникает изтза того, что перестановочные соотношения (4.19) и (5.4) имеют одинаковую структуру. Следовательно, собственные значения углового момента также имеют аналогичную природу. Однако обычные состояния, являющиеся собственными состояниями Р, не будут собственными состояниями L, поскольку Р и L не коммутируют никогда, за исключением случая Р = 0. Но L и Н коммутируют так, что мы могли бы найти собственные состояния одновременно Н и, например, .

Чтобы построить такие состояния, следует разложение выполнить не по плоским волнам (собственным функциям сдвига), а по сферическим гармоникам (собственным функциям вращений), так как именно в последнем представлении мы ожидаем, что оператор, будет диагонален. Чтобы достичь цели, воспользуемся разложением плоской волны

где представляют собой углы между векторами и произвольно направленной осью — нормированные сферические функции. Функции удовлетворяют уравнению

и задаются равенствами

Разложение (5.9) сводится к известному выражению

если выбрать в направлении оси z. Но поскольку (5.9) инвариантно относительно вращений, оно должно быть справедливо в общем случае.

Постоянные, входящие в определение были выбраны таким образом, чтобы эти функции были нормированы на -функцию. Это можно видеть, рассматривая их асимптотическое поведение

и уравнения поля

Далее, эти функции и сферические гармоники образуют полную систему трехмерных функций в том смысле, что

Наконец, если ввести разложение

и сравнить его с непрерывным пределом (4.8), то можно видеть, что определяется равенством

С помощью тождества

получаем теперь перестановочные соотношения

Можно без труда проверить, что соотношения (5.11) следуют из коммутационных свойств

По аналогии с разложением по плоским волнам можно также развить формализм с непрерывной переменной k, как предел дискретного набора, выделенного с помощью граничного условия (5.2); Из асимптотического разложения V, которое справедливо, только для значений или , много меньших (например, при фиксированных или в пределе видно, что равенство

требует, чтобы k имело значения где . При этих условиях

и приведенное выше разложение можно переписать в виде

при . В дальнейшем изложении мы будем использовать как дискретную, так и непрерывную форму записи. Для получения из теории численных результатов, очевидно, более удобна последняя. Ради удобства справок формулы, позволяющие выполнить переход из дискретного к непрерывному пространству, собраны в приложении.

В терминах операторов, введенных в (5.106), получаем для интересующих нас наблюдаемых

а для используя имеем

В новых переменных вакуум определяется равенством

В пределе (т. е. в случае, когда граничное условие (5.2) должно быть эквивалентно соответствующему условию в импульсном представлении) условие (5.14) совпадает с нашим прежним определением, поскольку в этом случае новые операторы а представляют собой линейные комбинации прежних. В новом представлении собственные состояния частиц с энергиями со получаются применением оператора к вакууму. Так

Обращаясь к (5.13), мы видим, что эти состояния будут также собственными состояниями принадлежащими собственному значению . Величины , т. е. собственные значения определяют числа частиц, имеющих энергии угловые моменты и третьи компоненты так, что при этом имеет целые собственные значения. Чтобы построить собственные состояния заданного полного углового момента, необходимо подобрать соответствующую комбинацию одночастичных состояний. Это можно осуществить методами, известными из элементарной квантовой механики [4]. Мы не будем останавливаться на этом в настоящий момент, но позже выполним эквивалентные этой процедуре преобразования. Существование нескольких способов построения собственных векторов Н связано с тем фактом, что в пределе или Н оказывается бесконечно вырожденным. Собственные состояния и Н представляют собой суперпозиции собственных состояний Р с теми же собственными значениями Н, а коэффициенты совпадают с теми, которые возникают при переходе от плоских волн к сферическим.