17.5. Приближение сильной связи [13—17].

В этом пределе голый нуклон окружен большим числом мезонов, и нулевые флуктуации поля много меньше его среднего значения, так что классические вычисления приобретают определенный смысл. В простейшем подходе, при котором мы интересуемся преимущественно свойствами основного состояния, все виртуальные мезоны считаются принадлежащими к одному типу, и получающийся упрощенный гамильтониан (17.30) будет диагонализоваться в пределе больших

Если ввести канонические операторы как и в (17.35

то упрощенный гамильтониан приобретает вид

где

Чтобы найти собственные значения Н, воспользуемся (как и в предыдущем пункте) на время полуклассической трактовкой, при которой операторы q рассматриваются как обычные числа и определяется минимум . Тогда мы должны найти наинизшее собственное значение 4X4-матрицы . С этой целью заметим, что вращение в спиновом и изоспиновом пространствах

порождает преобразование

где (в сокращенной записи)

Мы утверждаем теперь, что матрица q может быть диагонализована с помощью этого преобразования и покажем это следующим образом. В первую очередь заметим, что вещественная положительно определенная симметричная матрица может быть диагонализована с помощью вещественной ортогональной матрицы А:

Поэтому можно извлечь квадратный корень и получить вещественную диагональную матрицу Q с элементами Элементы

аналогичны радиальной переменной q в нейтральной теории и поэтому предполагаются положительными. Матрицу В можно записать с помощью (17.47) в виде

Легко проверить, что она ортогональна

Собственные значения Н, пропорциональные собственным значениям -матрицы,

можно найти, используя свойства огхг, а именно:

Отсюда видно, что операторы могут быть диагонализованы одновременно. Собственные значения равны ±1, а произведение собственных значений должно быть равно —1. Поэтому четыре возможных собственных значения (17.51) имеют вид

Вследствие нашего предположения» что первое из этих чисел соответствует основному состоянию.

Чтобы найти минимум энергии основного состояния и соответствующую форму минимизируем И по используя частный вид потенциальной энергии, получающийся при усреднении по основному состоянию:

Минимум достигается при

и равен

Основное состояние Н будет содержать гауссову функцию радиальных переменных с центром около их положений равновесия , т. е.

Для того чтобы найти выражение типа (17.41), нужно еще построить оператор проектирования на собственное состояние с собственным значением — Этот оператор имеет простой вид только в положении равновесия; он будет полезен в той мере, в какой ширина гауссовских функций оказывается пренебрежимой по сравнению со смещениями. Для мы имеем

где удовлетворяет соотношениям

Поскольку в равновесии

мы видим, что

и есть искомый оператор проектирования. По существу для мы имеем

Таким образом, в рассматриваемом пределе основное состояние приближенно имеет вид

Поскольку и инвариантны относительно вращений в спиновом и изоспиновом пространствах, основное состояние (17.58) есть собственное состояние операторов J и Т с тем же собственным значением, что и для . Член, пропорциональный , представляет собой компоненту мезонного облака с другой член соответствует Смешанные члены отсутствуют, и мы получаем с помощью (17.8) и (17.12)

Равенство означает, что средние значения в основном состоянии равны нулю. Это можно проверить непосредственно, поскольку

Так как энергия основного состояния равна нулю, то

где Е — сумма энергии нулевых колебаний, равной и кинетической энергии имеющей порядок . Для больших f можно пренебречь Е в основном состоянии и найти с помощью (17.31) и (17.33)

где

Чтобы найти оптимальное значение , мы минимизируем по . Используя тот факт, что

находим

Минимальное значение получается, следовательно, при и равно

Таким образом, в пределе сильной связи собственная энергия оказывается равной одной трети величины, вычисленной по теории возмущений [13-17].

Как и в нейтральной псевдоскалярной теории, первое возбужденное состояние имеет более высокие спин и изоспин, в то время как состояния, соответствующие другим собственным значениям оператора лежат много выше. Следующим после основного уровня оказывается -уровень (для него его энергия превышает энергию основного состояния на величину

Если бы это состояние было нестабильным, оно приводило бы к резонансу в рассеянии с . Мы уже рассматривали этот вопрос в классическом приближении, и рассмотрим его с квантовомеханической точки зрения в следующей главе. Результаты, полученные в этой главе, нельзя считать точными даже при поскольку предполагалось, что все мезоны принадлежат одному типу и в то же время не было показано, что другими типами можно пренебречь.