1.3. Непрерывная колеблющаяся цепочка.

Во многих случаях оказывается целесообразным не разделять цепочку на отдельные атомы и рассматривать задачу не с микроскопической, а с макроскопической точки зрения. Такой подход можно осуществить с помощью предельного перехода, при котором в то время как расстояние между атомами а длина цепочки остается постоянной. Это означает, однако, что число степеней свободы системы становится бесконечным и для ее описания необходимо бесконечное число переменных.

Назовем расстояние от начала цепочки, причем . В этом пределе мы получаем известное дифференциальное уравнение в частных производных:

Величина в (1.9) играет роль скорости волны v, так что в рассматриваемом пределе 2 должна вести себя как Следовательно, для того чтобы цепочка, состоящая из бесконечного числа атомов, имела конечную жесткость, требуется, чтобы силы, действующие между соседними атомами, были бесконечно велики. Как следствие, такая цепочка оказывается способной к колебаниям с бесконечно большими частотами.

Общее решение уравнения (1.9), подчиняющееся условию вновь можно получить, выполнив предельный переход

над нормальными координатами в (1.9). Вводя

и

и используя предел равенства (1.5)

находим из (1.9) уравнения движения для

Таким образом, частота оказывается равной что совпадает с пределом полученного ранее выражения (1.8) для Отсюда ясно, что атомная структура цепочки проявляется лишь в области коротких волн. Введение нормальных координат означает решение дифференциального уравнения в частных производных с помощью разложения Фурье. Те же результаты можно также вывести из гамильтониана (1.2), который в рассматриваемом пределе имеет вид

Поскольку для счетного множества координат гамильтониан (1.12) прямо приводит к уравнению (1.11), мы должны обобщить гамильтонов формализм обычной механики таким образом, чтобы получить уравнение движения для непрерывной координаты Это можно сделать, вводя функциональную производную с помощью -функции Дирака:

Первое из этих равенств есть непрерывная форма равенства , а второе получается дифференцированием первого по х.

Переписывая гамильтониан через канонические переменные

мы находим, что уравнения Гамильтона

обобщаются следующим образом:

что согласуется с (1.9).

Так как мы будем иметь дело в основном со случаем непрерывного распределения, который едва ли не проще, чем атомистический подход, то описанный формальный аппарат будет в дальнейшем часто применяться. Это позволит нам исключить микроскопические константы и заменить их макроскопическими постоянными

Однако в случае некоторых полей, таких как электромагнитное и поля элементарных частиц, невозможно найти механической базы, которая могла бы служить отправной точкой при построении уравнений движения. В этих случаях приходится обращаться к специальной теории относительности, чтобы получить свойства инвариантности этих полей. Четырехмерная однородность и изотропия нашего пространственно-временного континуума предполагаются вытекающими из аналогичных свойств полей всех элементарных частиц. Говоря на профессиональном языке, инвариантность относительно неоднородной группы Лоренца есть единственный руководящий принцип, позволяющий выбрать возможные уравнения поля для описания элементарных частиц. Эта довольно смелая процедура оказывается очень плодотворной и вскрывает многие поразительные черты элементарных частиц. К сожалению, теория представлений группы Лоренца далеко не элементарна, так что мы не сможем систематически обсудить релятивистскую теорию поля. Однако мы будем встречаться с влиянием теории относительности на наши представления о частицах.

Вследствие условия релятивистской инвариантности, поля приобретают замечательные свойства, которыми не обладает ни одна механическая система. Поскольку теория должна быть инвариантной по отношению к произвольным пространственно-временным смещениям, поле не может иметь никакой атомистической структуры и должно быть непрерывным. Далее, поле должно заполнять все пространство — время, оно должно существовать всегда и везде и не может быть устранено внешним воздействием. Таким образом, мы приходим к новой точке зрения на пространство и вещество. Пространство заполнено непрерывной основой, образующей поля элементарных частии; а некоторых отношениях это продолжение концепции эфира

прошлого столетия. Вещество представляет собой просто локальное возбуждение этой основы, т. е. нечто в своем роде случайное. Не существует в этом смысле сохранения вещества, и законы, управляющие его взаимодействиями, вторичны и сложны. Простота природы открывается в уравнениях элементарных полей, которые отражают ее симметрию и закономерность. Эта картина совершенно противоположна механической, в которой вещество фундаментально и закон для силы, действующей между его частями, есть первичный закон природы. Сказанное объясняет, почему современные фундаментальные исследования в физике в такой значительной степени используют квантовую теорию поля, которая концентрирует свое внимание на изучении свойств поля — основы всех физических явлений.