Глава 10. РОЖДЕНИЕ ЧАСТИЦ

10.1. Общие замечания.

В предыдущей главе мы изучили свойства виртуальных частиц. Теперь исследуем вопрос: при каких обстоятельствах они могут превращаться в реальные частицы. С этой целью мы выразим операторы «out» через операторы «in». В согласии с общей формулой (8.12) связь между падающим («in») и рассеянным («out») полями задается равенством

где

Соотношение (10.1) можно переписать в импульсном пространстве с помощью уравнений

где дается выражением

Следовательно,

Поскольку оператор удовлетворяет уравнению свободного поля, в него вносит вклад лишь та часть источника, для которой выполняется соотношение между частотой и волновым числом для свободной частицы. Соответственно в обычном пространстве волновые функции образующихся частиц не будут ограничены только областью, примыкающей к источнику. Пользуясь классической терминологией, можно сказать, что виртуальные частицы — это частицы, сосредоточенные в близлежащей к источнику зоне, тогда как реальные испускаемые частицы покидают источник и переходят в волновую зону. Для решения проблемы анализа состояний с определенным числом уходящих частиц в терминах начальных состояний (в частности, для определения вероятности обнаружения уходящих частиц с импульсами для вакуума в начальном состоянии) следует вновь обратиться к (9.14), поскольку где соответствует теперь

Мы имеем, таким образом, распределение Пуассона для испущенных квантов в любом интервале импульсов со средним числом частиц

Можно выписать также разложение, точно аналогичное (9.17), и получить

где

и

Можно дать явное выражение и для -матрицы через асимптотические операторы поля. В случае одной степени свободы -матрица соответствует унитарному преобразованию , которое генерируется Теоретико-полевое обобщение этого преобразования

имеет вид

С помощью (10.36) матрицу S можно выразить через операторы полей и

Читатель сможет без затруднений самостоятельно убедиться, что это выражение находится в согласии с (10.4 а) и что

Если источник сферически симметричен, то вклад в -матрицу дают лишь сферически симметричные члены, соответствующие угловому моменту, равному нулю. Иными словами, если разложить по операторам, соответствующим определенному угловому моменту , то только Вкоо будет давать вклад в -матрицу. Поэтому все частицы будут порождаться в -состояниях (с угловым моментом, равным нулю).

Прежде чем переходить к обсуждению выражений для -матрицы при типичных видах , рассмотрим другой вопрос, который мог возникнуть. Мы знаем, что при зависящем от времени источнике энергия поля не сохраняется. Какова же энергия; передаваемая или отбираемая от поля источником? Если мы имеем дело с вакуумом для падающих частиц, то она равна среднему значению энергии в этом

состоянии при Ее можно вычислить следующим образом:

Поскольку представляет собой распределение Пуассона, мы получаем с помощью (6.15)

Это означает, что энергия, переданная полю, точно равна энергии кванта, рожденного источником. В классической теории поля формулу (10.5) получают, интегрируя в пределах от до . Поскольку единственный член в лагранжиане, зависящий явно от времени, то

С классической точки зрения случаю вакуума падающих частиц соответствует квантовой механике равно нулю среднее значение ). Интегрируя по частям, подставляя в последнее равенство (8.10) и используя (8.9), можно переписать в виде

Переходя к импульсному пространству и используя (10.2), мы убеждаемся в справедливости (10.5). В последнем способе записи (10.6) мы подчеркнули, что связано с разностью между и -полями, которая обусловливает потерю энергии. Это хорошо известно из классической электродинамики, которая дает аналогичное выражение для потери энергии, причем сила лучистого трения определяется разностью . Поскольку для средних значений поля справедливо классическое уравнение движения и флуктуационные члены имеют тот же вид, что и для свободных полей.

естественно ожидать, что для потери энергии получится классический результат. Аналогичным образом собственная энергия статического источника оказывается равной изменению энергии, получаемому при выключении или включении источника.