Глава 11. КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ С БИЛИНЕЙНЫМ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ

11.1. Общие замечания.

В этой главе мы рассмотрим систему, для которой член, обусловленный взаимодействием, квадратичен по переменным поля. Общий вид такого члена, как мы убедились в гл. 8, записывается следующим образом

и включает в качестве специального случая локальный потенциал , действующий на поле. Однако существуют случаи, в которых существенны нелокальные потенциалы вида (11.1), например, многочастичная задача в ядерной физике [1]. Далее, некоторые типы линейных связей могут близко соответствовать связи типа (11.1). Например, лагранжиан взаимодействия электромагнитного поля А с нерелятивистскими частицами заряда имеет вид

и содержит член вида (11.1) с

В релятивистской теории ситуация сложнее; в частности -функция оказывается размазанной на величину комптоновской длины волны заряженной частицы. Аналогично можно показать, что релятивистское псевдоскалярное -взаимодействие в мезонной теории содержит эквивалентный основной член вида (11.1) при

где — нуклонная плотность — масса нуклона. При преобразовании -теории появляется также много других членов, один из которых составит предмет последней части этой книги. Кроме того, как мы увидим в гл. 13, та часть модели Ли, для которой решение можно дать в явном виде, тоже эквивалентна (11.1). В этой и в следующей главах мы будем часто обращаться к электродинамике как к примеру теории такого рода. Мы не будем, однако, изучать эту проблему слишком подробно, ибо ее физические приложения будут представлять для нас интерес лишь постольку, поскольку они позволяют легко ввести многие понятия, с которыми мы в дальнейшем столкнемся в физике -мезонов. Так, эта модель позволит нам изучить связанные (возбужденные) физические состояния источника и явления рассеяния.

Следуя нашему общему подходу, мы сначала найдем решение уравнений движения с точки зрения классического поля и отложим квантовомеханический анализ до следующей главы. Мы ограничимся обсуждением случая, когда V не зависит от . Далее, во всех явных вычислениях мы будем считать для простоты, что V разделяется на произведение следующего вида:

где — вещественна и — сферически симметрична. Рассмотрение, которое мы приведем ниже, можно было бы провести и применяя общую форму V, но это потребовало бы использования ряда приемов теории сингулярных интегральных уравнений. Поскольку общий случай не приводит к каким-либо существенно новым результатам, представляющим физический интерес, мы не будем анализировать его детально. Уравнение движения (8.12) можно записать в интегральной форме, вводя асимптотические поля

Фурье-преобразование этого уравнения имеет обычный вид линейного интегрального уравнения. Чтобы получить его, введем четырехмерную фурье-компоненту поля :

и трехмерную фурье-компоненту не зависящего от времени источника

Для поля мы ввели четырехмерную фурье-компоненту вместо трехмерной по той причине, что его зависимость от времени отличается от зависимости для свободного поля и заранее неизвестна. Вводя выписанные выше фурье-компоненты вместе с четырехмерными фурье-компонентами , заданными по (8.6) и (8.7), мы получаем 3)

Подобное уравнение можно рассматривать как предел обычного линейного алгебраического уравнения (которое действительно получилось бы, если бы мы использовали нормировку на конечный объем ) и, следовательно, его можно изучать соответствующими методами. Для разделяющегося источника уравнение (11.7) содержит

как параметры и представляет собой, вообще говоря, линейное соотношение между . Однако если для определенных значений параметров детерминант уравнения (11.7) исчезает, то существует решение при или при . Мы увидим позднее, что решения однородных уравнений (например, ) соответствуют связанным состояниям, тогда как решения неоднородного уравнения дают состояния, соответствующие рассеянию. В настоящий момент сконцентрируем внимание на последних. В общем случае решение (11.7) можно дать только в виде бесконечных рядов, но для V, имеющего вид (11.5), разложение Фредгольма обрывается на втором члене. В самом деле, мы находим, что

Это уравнение можно непосредственно проинтегрировать, и мы получаем

Теперь, когда частное решение получено, мы можем вернуться к более привычному трехмерному разложению Фурье. Чтобы переписать (11.9) в трехмерном импульсном пространстве, используем тот факт, что временная зависимость свободного поля известна. В качестве непрерывного аналога разложения Фурье (8.16) мы имеем

где — положительно-частотная часть , пропорциональная — отрицательно-частотная, пропорциональная . Четырехмерная фурье-компонента , определенная

выше, отлична от нуля лишь при и равна

Выписывая положительно- и отрицательно-частотные части и используя полученные выше результаты, перепишем (11.9) в удобных матричных обозначениях:

где

Из (11.86) и (11.11) следует, что для вещественного сферически симметричного источника

Мы будем иногда давать (11.10) в сокращенной записи

где уравнение поля (8.11) налагает требование:

в чем нетрудно убедиться. Здесь под следует понимать диагональную матрицу

причем в правой части (11.13) подразумевается матричное умножение с