12.2. Рассеяние.

В гл. 11 мы кратко рассмотрели связь между и -полями. Было показано, что эта связь имеет наиболее

простой вид, когда поля описываются через собственные состояния углового момента. Соотношения между полями сохраняют свой вид и в квантовой теории, как это следует из (12.1) и аналогичного уравнения с Эта пара уравнений показывает, кроме того, что переходы из непрерывного в связанное состояние, и наоборот, невозможны. Можно переписать (11.37) в виде

и отсюда сделать вывод, что

Из выражения

и аналогичного выражения для следует, что , т. е. что рождение реальных частиц отсутствует. Только одно состояние, содержащепадающую частицу с , отличается от соответствующего состояния с рассеянной частицей на фазовый сдвиг . Падающая плоская волна, представляющая собой смесь собственных состояний лагранжиана L, дает уходящую плоскую волну плюс расходящуюся сферическую волну с амплитудой . Отсюда можно получить выражение для вероятности перехода, действуя таким же способом, как и в квантовой механики одной частицы. Для сечения рассеяния (8.34) получается обычное выражение

Обсудим теперь коротко резонансное рассеяние, представляющее важное свойство -мезон-нуклонной системы. Если исследовать выражение

для значений , настолько малых, что функция не имеет полюсов, то при , стремящемся к нулю при больших импульсах достаточно

быстро, как при так и при . Для конечных значений импульса принимает положительные или отрицательные значения в зависимости от знака . Если отрицательна, а ее величина возрастает, то начиная с некоторого критического значения О, становится отрицательной, а имеет два полюса, как это изображено на фиг. 12.1. В этом случае фазовый сдвиг проходит через 90° при импульсе величина которого определяется условием

Фиг. 12.1. График функции для трех отрицательных значений константы связи при .

Для импульсов, близких к , можно разложить

где

В этом приближении фазовый сдвиг можно записать как

где

Для производной фазового сдвига по импульсу мы получаем в окрестности

откуда видно, что S имеет острый максимум вблизи Очень быстрое убывание в зависимости от k в окрестности значения определяемого условием и называемого резонансным импульсом, свидетельствует о том, что падающие частицы в этой области имеют тенденцию оставаться у источника и что время испускания рассеянных частиц велико по сравнению со временем, необходимым для того, чтобы частица пересекла источник. Это можно видеть, рассмотрев падающую волну в виде гауссовского (сферического) пакета:

где Разлагая о в окрестности находим для рассеянного волнового пакета:

где Таким образом, мы снова получим гауссовское распределение, смещенное, однако, по времени на величину . Резонанс такого рода часто называют „виртуальным" или „метастабильным" состоянием с временем жизни порядка Он доминирует в рассеянии частиц с энергиями, близкими к поскольку соответствующий

фазовый сдвиг проходит 90°, а сечение рассеяния имеет в этой области максимум. Подставляя (12.9 а) в формулу для сечения рассеяния, находим

График сечения рассеяния в зависимости от вблизи приведен на фиг. 12.2. Выражение (12.10) имеет простую физическую интерпретацию. Первый множитель — чисто геометрический. Он представляет собой площадку, перпендикулярную к падающему пучку, состоящему из волн с угловым моментом и импульсом к. Второй множитель выражает вероятность образования частицей с энергией метастабильного состояния, имеющего ширину Г и центр распределения по энергии в точке Таким образом, (12.10) показывает, что при рассеиваются только те частицы, которые имеют энергию и импульс, подходящие для образования связанного состояния.

Фиг. 12.2. Форма зависимости сечения рассеяния от энергии вблизи резонансного значения

При дальнейшем возрастании значения к, при которых фазовый сдвиг проходит через 90°, приближаются к а задержка распада по времени стремится к Последнее значение достигается при значении которое определяется условием При еще больших значениях появляется связанное состояние. Поскольку связанное состояние возникает лишь при (силы притяжения) и соответствует резонансу при отрицательных энергиях, фаза 8 оказывается отрицательной при малых энергиях падающих частиц. Это видно и из кривой для на фиг. 11.1,

В пределе высоких энергий и для источника конечных размеров задается первым членом разложения по степеням X (борновское приближение), поскольку . С другой стороны, для поправки к борновскому приближению могут быть заметными, поскольку точный результат отличается от этого приближения множителем Эта величина может даже обращаться в нуль, и это действительно имеет место для точечного источника. Такое изменение величины сечения по сравнению с борновским приближением имеет простую физическую интерпретацию, если рассмотреть упрощенный вариант электродинамики, в котором рассматривается только член вместо полного лагранжиана (11.2) (и аналогично в теории). В этом случае легко показать, что есть полная инертная масса электрона, включающая инерцию электромагнитного поля, и, следовательно, величины представляют собой сечения рассеяния соответственно в пределе низких и в пределе высоких энергий. Весь эффект высших приближений по (представляющих виртуальные фотоны) проявляется лишь в изменении инерции. В области низких частот виртуальные фотоны жестко связаны с зарядом и в соответствии с этим масса оказывается равной т. В высо. же частотах виртуальные частицы не успевают следовать за полем, и сечение рассеяния определяется голой массой Этот простой результат типичен для нерелятивистской квантовой электродинамики. Релятивистская теория учитывает порождение также виртуальных пар заряженных частиц, что приводит к эффективному изменению не только массы, но и заряда электрона (поляризация вакуума).

При анализе мезонной теории будет удобно ввести перенормированную константу взаимодействия, такую, чтобы точное выражение для фазового сдвига, экстраполированное к нефизической энергии совпало формально с борцовским приближением, вычисленным с перенормированной константой связи. Если эта процедура, которая могла бы показаться ненужной и произвольной, осуществлена, мы получаем конечный фазовый сдвиг для всех импульсов даже при точечном взаимодействии. В релятивистской теории потребность в таком точечном взаимодействии диктуется требованием лоренц-инвариантности; после перенормировки результаты оказываются менее чувствительными к форме источника Следуя изложенной

процедуре в настоящем случае, определим равенством

Фиксация перенормированной константы (или эквивалентно ) означает определенную зависимость размера источника от . Так, зафиксировав определенное конечное значение мы получаем следующее выражение для X в пределе точечного источника (или достаточно малого источника):

Это означает, что X приближается к нулю со стороны отрицательных значений независимо от знака Хотя это обстоятельство и не приводит к каким-либо трудностям в задаче с одним источником, однако при наличии двух или более источников возникает связанное состояние с энергией Отсюда ясно, что в теории отсутствует состояние с наинизшей энергией. В случае модели Ли, которую мы изучим далее, мы столкнемся с явлением подобного рода; оно приводит к серьезным трудностям даже в случае одиночного источника.

Через перенормированную константу связи фазовый сдвиг выражается следующим образом:

Как уже пояснялось выше, такая форма записи имеет ряд любопытных свойств. В частности, роль высоких энергий в интеграле, где существен точный вид сильно ослаблена, так что интеграл остается конечным даже в пределе точечного источника. В рассеянии может обнаруживаться резонанс при некоторой энергии в окрестности которой остаются справедливыми уравнения (12.9) и (12.10) при замене на на