11.3. Поведение волновой матрицы.

Матрица , преобразующая локальные переменные поля в асимптотические, обладает рядом интересных свойств, существенных для квантовой трактовки теории. Мы увидим, что при наличии связанных состояний матрица „полуунитарна" в том смысле, что

но

где оператор проектирования на связанные состояния, коль скоро какие-то из них существуют. „Полуунитарность - это явление, появляющееся только в бесконечномерном пространстве, так как для конечной матрицы условие всегда означает

Фиг. 11.1. Диаграмма для отрицательных значений и трех возможных значений X при отрицательных

Для доказательства высказанных предложений мы запишем

где

и

так что (11.20) теперь имеет вид

Последнее равенство легко можно проверить явным образом для разделяющегося потенциала:

Можно доказать, что и удовлетворяет тому же соотношению.

Проверка (11.21) производится аналогичным образом и мы находим, что

При учете (11.16) последний интеграл можно переписать в виде

где контур С примыкает к вещественной оси снизу от до 0 и сверху от 0 до . Поскольку интеграл по кругу бесконечного радиуса не вносит вклада в (11.26); если прибавить его к интегралу вдоль вещественной оси, то, как это изображено на фиг. 11.2, возникает интеграл по замкнутому контуру. Этот интеграл можно вычислить с помощью теоремы Коши, используя аналитические свойства D, рассмотренные выше. Если D не имеет полюсов, то

если же она имеет один полюс, то

Фиг. 11.2. Контур интегрирования для уравнения (11.26).

Как мы видим, возвращаясь к (11.22), первый случай означает, что

тогда как второй — что

причем

Сравнение с (11.14) позволяет выписать временную зависимость

С помощью (11.19) можно очень просто показать, что волновая функция связанного состояния правильно нормирована. То, что эта волновая функция действительно представляет связанное состояние.

следует из пространственной зависимости фурье-преобразования Поскольку отрицательно, мы находим

и на больших расстояниях от источника эта волновая функция имеет пространственную зависимость, характерную для связанного состояния:

где величина есть энергия связи. Более того, волновая функция ортогональна к состояниям рассеяния в том смысле, что

11.4. Рассеяние. В заключение этой главы мы вернемся к связи между падающим и уходящим полями. Из (11.10) и аналогичного равенства для уходящего поля мы получаем:

Поскольку это уравнение выполняется во все моменты времени и меняются во времени как свободные поля), мы можем отделить в нем положительно- и отрицательно-частотные части и получить с помощью (11.20)

Так как второе равенство (11.31) совместно с первым.

Важно иметь в виду, что оператор унитарен, независимо от того, присутствуют или нет связанные состояния. С помощью (11.21) находим, что

так как член с исчезает вследствие условия ортогональности (11.29). Если источник, как это и предполагалось, сферически симметричен, , то произведение нетрудно диагонализировать. При этом, как и в случае линейной связи, оказывается связанной только сферически симметричная часть поля. Это можно продемонстрировать, разлагая поле по сферическим волнам, в результате чего Q становится диагональной по и . Матричные элементы 2 между состояниями оказываются равными единице при , а при мы находим (см. гл. 5), что

С помощью равенств (11.15) и (11.16) можно переписать (11.33) в более удобной форме:

Аналогично.

и, следовательно

или

Поскольку последняя матрица диагональна, соотношение между и -полями в этом представлении выглядит особенно, просто. Если определить фазовый сдвиг равенством

то

и

Эти соотношения будут играть существенную роль в следующей главе, где мы будем изучать корпускулярный аспект задачи и свяжем полученные выражения с сечением рассеяния. Здесь же мы хотим только отметить, что когда размеры источника стягиваются к нулю, возникает ряд затруднений. Поскольку равно при этом 1, то из (11.39), мы находим

В гл. 12 будет показано, как обойти появляющиеся трудности с помощью предельного перехода.

Как и в теории с линейной по полю связью, в теории с билинейным взаимодействием для некоторых видов источников можно найти аналитическое решение. Здесь мы сталкиваемся с очень интересной задачей, поскольку оказывается возможным рассмотреть рассеяние на многих центрах. При этом потенциальная энергия не является суммой потенциалов взаимодействия между парами, как это было в линейной теории. Обсуждение этих проблем увело бы нас, однако, далеко в сторону.