13.2. Перестановочные соотношения и уравнения движения.

Перестановочные соотношения для операторов нельзя вывести из

канонических, однако их можно найти, рассматривая матричное представление (13,2). Поскольку операторы получаются из с помощью унитарного преобразования (2.18), для них верны такие же, как и для перестановочные соотношения вида

Считается, конечно, что коммутируют с в один момент времени:

а перестановочные соотношения для операторов и имеют обычный вид [см. (4.22)]

Используя эти перестановочные соотношения и равенство [см. (2.19)], мы выводим уравнения движения

В импульсном пространстве эти уравнения переходят в

где

Полученные дифференциальные уравнения можно заменить эквивалентными интегральными уравнениями способом, аналогичным примененному для получения уравнений (8.4) - (8.10). С помощью запаздывающей функции Грина

и эрмитово сопряженного равенства мы получаем

Для операторов находим, что

а с помощью (13.7 а) и (13.76), что

Первые два уравнения также можно записать в интегральной форме, но мы отложим это на время. Последнее уравнение выражает закон сохранения заряда, поскольку из него следует, что

Иначе говоря, сохраняется только полный заряд (т. е. заряд источника вместе с зарядом поля). Заряд одного источника или одного поля в отдельности не сохраняется. Заметим, что оператор Q имеет

полуцелые собственные значения соответствующие следующим голым состояниям частиц:

Уравнения движения (13.7) и (13.10) все еще слишком сложны, чтобы их проинтегрировать в замкнутой форме. Однако если ограничиться физическими состояниями частиц (собственными состояниями Q и , то происходят дальнейшие упрощения, поскольку в рассматриваемой модели эти состояния представляют смесь состояний с мезонами.