Глава 12. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ С БИЛИНЕЙНЫМ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ

12.1. Квантование и перестановочные соотношения при наличии связанного состояния.

В первую очередь мы используем полученные нами результаты, чтобы проверить согласованность перестановочных соотношений для локальных полей с перестановочными соотношениями для асимптотических полей. Вообще говоря, такая эквивалентность гарантируется адиабатическим принципом, но для билинейной теории она не так очевидна, как для теории с линейной связью, в которой локальные и асимптотические операторы поля отличаются лишь на обычное число. В частности, если мы рассмотрим сейчас более общую задачу, включающую связанное состояние, канонические перестановочные соотношения приводят к требованию, чтобы в дополнение к падающему полк) (11.10) содержало бы член, представляющий связанное состояние. Как мы видели в гл. 11 [см. равенство (11.28 в)], пространственная зависимость волновой функции связанного состояния имеет вид

при

так что соответствующие частицы продолжают концентрироваться около источника в пределе в отличие от частиц, связанных с которые в конечном счете исчезают на бесконечности. Подход, который, как мы увидим в дальнейшем, позволяет удовлетворить перестановочным соотношениям, характеризуется следующим выражением (все время используются матричные обозначения, введенные в последнем разделе):

где обычный оператор (8.17) для падающего поля и

Используя эти, а также обычные перестановочные соотношения для можно убедиться, что канонические перестановочные соотношения удовлетворяются. Они не удовлетворялись бы, если бы члены, пропорциональные были опущены или рассматривались как с числа. Для простоты проведем доказательство при ; из вывода будет очевидно, что аналогичный способ применим и для других моментов времени. Из (12.1) и (11.9 а) мы заключаем, что

В терминах фурье-компонент введенных в гл. 11, вещественность требует, чтобы выполнялось условие и обычные перестановочные соотношения принимают вид

Эти соотношения выполняются, если

что действительно имеет место, как можно показать с помощью (11.35). Последнее перестановочное соотношение

также удовлетворяется [см. (11,27 б)], но только благодаря введенным в (12.1) дополнительным связанным состояниям и перестановочным соотношениям (12.2). Разумеется, если связанные состояния отсутствуют, мы просто берем и (12.5) продолжает выполняться.