18.2. Матрица рассеяния.

Вывод уравнения Лоу в нашем случае аналогичен выводу в модели Ли (гл. 14). Дополнительные трудности

появляются здесь в связи с существованием 36 независимых состояний нуклона и Р-волнового -мезона при каждой фиксированной энергии. Эти состояния можно записать стандартным образом в виде

Для наших целей наиболее подходит разложение поля по переменным, связанным с угловым моментом Чтобы избежать употребления слишком большого числа индексов, мы будем часто использовать в дальнейшем обозначение, введенное в (18.1): будем считать, что индекс К означает девять возможных состояний по угловому моменту, изотопическое состояние мезона и одновременно (полу-)непрерывную переменную k. Вводя величину для четырех возможных нуклонных состояний, мы можем переписать (18.1) в виде

Обобщение этого обозначения на случай состояния с реальными мезонами, которое нам вскоре понадобится, записывается как

Матрица рассеяния связывает состояния «in» и «out». Во введенных выше обозначениях эта -матрица равна

Чтобы получить связь между мезонными операторами «in» и «out», используем уравнение (15.10), переписанное через операторы, связанные с угловым моментом,

Через мезонные операторы В в конечном состоянии этот же оператор записывается в виде

так что в результате

где для члена с источником введено сокращенное обозначение

Оператор V эрмитов, Подстановка (18.4) в (18.3) дает

Чтобы получить последнюю формулу (18.6), мы использовали явную временную зависимость в гейзенберговском представлении [см. (2.18)] и выполнили интегрирование по времени.

Для неупругих процессов S- и Т-матрицы отличаются лишь на -функцию, выражающую сохранение энергии:

С помощью уравнений поля равенство (18.6) можно переписать на поверхности энергии в виде

Из последней формы записи становится ясной возможность некоторых упрощений. Мы замечаем, что зависимость -матрицы от импульса можно выделить в виде множителя, после чего у нас остается матрица от спиновых и изоспиновых операторов между физическими нуклонами. Такое разделение Г-матрицы есть специальное

свойство статической модели; мы к нему еще обратимся в последующих пунктах.

Продолжая рассуждения, перепишем Т-матрицу упругого рассеяния, вводя полный набор промежуточных состояний , как это мы делали, рассматривая модель Ли. Если использовать при этом тот факт, что

то мы придем к следующему уравнению:

Отметим, что во втором члене мезонные индексы в отлнчие от нуклонных поменялись местами.