Глава 13. МОДЕЛЬ ЛИ: СОСТОЯНИЯ С Q=±1/2

13.1. Введение.

Модель Ли состоит из поля, линейно связанного с источником, имеющим одну внутреннюю степень свободы. Эта степень свободы не является классическим параметром типа координаты и имеет всего два собственных значения. В качестве примера такой величины можно привести заряд нуклона (источника), который имеет два собственных значения, отличающих протон и нейтрон . Эта степень свободы была описана в гл. 7; она включается в связь, вызывающую элементарный процесс - если называть кванты поля -мезонами. Вообще говоря, если источник имеет более чем одну степень свободы, задача так усложняется, что ее не удается решить в явном виде. Мы встретимся с такой ситуацией в третьей части книги. Однако в модели Ли предполагается, что отсутствуют, так что отсутствует и процесс . В этом случае сохранение заряда настолько ограничивает различные возможности, что задача становится разрешимой. Несмотря на определенную искусственность, модель Ли отражает важные черты -мезон-нуклонных систем. Формально задача имеет много общего с теорией с билинейным взаимодействием, рассмотренной в последних двух главах. Мы будем широко использовать эту аналогию, с тем чтобы избежать повторения формальных манипуляций.

Чтобы описать степени свободы источника, следует ввести новые динамические переменные. Мы определим операторы определив их действие на голые нуклоны при следующим образом:

Эти операторы не зависят от времени в отсутствие взаимодействия и при равных массах нуклонов (при этом не зависит от операторов ). Отсюда в отсутствие взаимодействия гильбертово пространство есть прямое произведение обычного полевого пространства,

умноженное на двумерное пространство. Если в дальнейшем представлять нуклон в виде (), то операторы оказываются матрицами 2X2 следующего вида:

В присутствие взаимодействия операторы начинают зависеть от времени, и (13.2) приобретает смысл представления через состояния голых частиц при Взаимодействие соответствующее процессам между состояниями голых частиц, должно иметь вид

Если мы хотим запретить процесс для -мезона, описываемого полем Клейна—Гордона, мы сталкиваемся с той трудностью, что все локальные операторы, такие, как содержат одновременно операторы уничтожения и операторы рождения. Поэтому должен умножаться не только на оператор рождениям-, но и на оператор уничтожения и аналогично на Однако шредингеровское поле представляет собой чистый оператор уничтожения, так что нужный гамильтониан нетрудно построить. Мы будем исходить из модели, описываемой следующим гамильтонианом:

Член с введен, чтобы отразить разность масс ; он равен нулю при действии на голое -состояние и равен для голого нейтрона. Этот член будет использован для перенормировки энергии физического -состояния.