Глава 16. ОСНОВНЫЕ ЧЕРТЫ СТАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ

16.1. Классическое описание стационарного движения.

В согласии с нашей обычной процедурой обсудим в первую очередь уравнения движения в том пределе, когда после получения таких уравнений все величины могут считаться коммутирующими числами. В этом случае векторы считаются единичными и определяют направления спина и изоспина. Уравнения (15.7) — (15.9) описывают при этом нелинейную классическую систему, и решение может быть получено только в пределе, когда все величины осциллируют с бесконечно малыми амплитудами около своих положений равновесия. Упростим теперь поставленную задачу, обратившись к модели без изоспина. В этой модели классические уравнения можно разрешить точно и мы сможем глубже понять их структуру. При этом мы будем пренебрегать , а не по той причине, что, опустив , мы изменили бы размерность константы связи и, следовательно, зависимость соответствующих величин от предельного импульса.

В этом разделе мы рассмотрим решения с т. е. взаимодействие нуклона с собственным мезонным полем. С аналогичной задачей мы встречаемся в электромагнитной теории. Однако здесь мезонное поле связано с и, следовательно, с ротационными, а не трансляционными степенями свободы. Таким образом, в то время как основной эффект воздействия собственного электромагнитного поля на заряженное тело заключается в добавлении некоторой величины к его инертной массе, соответствующее мезонное поле рождает момент инерции нуклона. По аналогии с решением электромагнитных уравнений для поля, сопровождающего равномерно движущийся заряд, мы получим решения для мезонного поля, следующего за равномерно вращающимся вектором . Эти две теории различны в квантовой механике, где импульс не квантуется, а момент количества движения должен быть величиной, равной полуцелому числу . В квантовой механике вращение может происходить только с определенными

частотами, которые определяются моментом инерции мезонного поля. Если момент инерции мал, энергия этого движения велика. Когда эта энергия становится больше массы мезона, нуклон испускает мезон; иначе говоря, возбужденное ротационное состояние нуклона становится нестабильным по отношению к распаду на мезон и нуклон в основном состоянии. Такое движение соответствует затухающему вращению, которое может, однако, поддерживаться, как это будет видно ниже, при .

Фиг. 16.1. Иллюстрация к стационарному решению задачи о движем спина .

Подобные нестабильные возбужденные уровни нуклона были действительно обнаружены экспериментально, и в настоящее время спектроскопия нуклона представляет собой интересную новую область физики.

В качестве переменных в нашей модели выступают зависящий от времени единичный вектор а и классическое мезонное поле Они связаны уравнениями

и

Последнее уравнение показывает, что мезонное поле действует на спин закручивающим образом. Направление крутящего момента перпендикулярно градиенту мезонного поля и спину, так что оказывается константой. Если бы градиент был постоянной величиной

мы получили бы в качестве решения вращение, аналогичное движению волчка в гравитационном поле. Хотя в нашем случае не имеет заданного определенного значения, можно ожидать, что аналогичное движение вполне возможно. В соответствии с этим будем искать решение, соответствующее равномерному вращению а вокруг трех осей. В качестве предполагаемой формы решения, содержащей угол и частоты вращения в виде параметров (фиг. 16.1), возьмем следующее выражение:

Поскольку содержит только частоты мезонное поле равно

где V определяется формулой :

В зависимости от значения величина либо убывает экспоненциально либо осциллирует на бесконечности . В первом случае излучение отсутствует и мы получаем стационарную прецессию с которую мы и изучим в первую очередь. Как и в большинстве задач классической теории поля, тщательный анализ этого случая требует довольно длинных, хотя и простых алгебраических вычислений.

Подставляя (16.4) в (16.2) и используя тот факт, что получаем

Подстановка (16.3) означает, что Следовательно, она удовлетворяет (16.6) при условии, что

Уравнение (16.7) определяет частоту для заданного угла Выясним теперь условия, при которых (16.7) имеет решение для . Для этого нужно вычислить функцию

Если импульс обрезания значительно больше то можно показать, что главный член в не зависит от Для этого используем тождество

Первый член разложения дает наибольшую расходимость при

тогда как второй член расходится только линейно и отражает наличие у источника радиуса а:

Остальные члены сходятся, и мы можем поэтому положить . Собирая получающиеся выражения, имеем

и

Вычисления существенно упрощаются, если предположить, что линейный размер источника много меньше комптоновской длины волны -мезона, т. е. В этом случае поле состоит в основном из компонент с большими импульсами и легко может следовать за сравнительно медленным движением спина. Учитывая последовательные эффекты запаздывания с помощью разложения

мы получаем для (16.4) следующее приближенное выражение:

и, следовательно, уравнение

Это уравнение представляет собой предельную форму уравнения (16.6), откуда следует

Таким образом, для достаточно малых значений всегда существует решение с Это утверждение перестает быть справедливым в квантовой теории, где угловой момент должен быть полуцелым. Из того, что нам известно о движении твердого тела в квантовой механике, можно ожидать, что для получения квантового результата достаточно дополнить классические вычисления условием квантования углового момента. Мы увидим в следующей главе, как это условие возникает в квантовой теории поля. Чтобы получить соответствие между квантовым и классическим анализом, следует вычислить сперва энергию и угловой момент для нашего решения,

используя формулы предыдущей главы для Н и J и опуская изоспин. Учитывая (16.4), мы имеем после некоторых вычислений

Величина выбирается из условия ее равенства энергии в статическом случае . Оставшуюся часть энергии мы назовем , поскольку она представляет собой разность энергий для решения, соответствующего вращению, и статического решения. Как можно видеть, для достаточно больших а разность ; это означает, что статическое решение оказывается решением с наинизшей энергией. Для углового момента (15.12) получаем

Как и следовало ожидать, компоненты вектора J, параллельные сокращаются в силу условия (16.6). Следовательно, полный угловой момент оказывается постоянным вектором, направленным вдоль оси z.

Для получения более простых результатов перейдем к пределу что действительно выполняется в -мезон-нуклонном взаимодействии. Тогда

и, следовательно,

Разность выражается через J как

что соответствует энергии вращения твердого тела с моментом инерции . Последний обусловлен мезонным полем, следующим за спином. Величину его можно без труда получить в виде суммы по всем возможным значениям импульса от произведения

Выражение (16.18) можно использовать для определения энергии следующего уровня в квантовой теории. За основным состоянием следует состояние с с энергией

Таким образом, условие стабильности этого состояния по отношению к мезонному распаду имеет место только для достаточно больших значений . Причина этого заключается в том, что только в случае сильной связи мезонное облако оказывается достаточно плотным, чтобы обеспечить необходимый момент инерции. Для слишком малых моментов инерции вращение должно быть чрезвычайно быстрым, чтобы угловой момент оказался равным единице. Мезонное облако при этом не выдержит центробежных сил и распадется. Положение здесь аналогично положению с нейтрон-протонным взаимодействием, сила которого достаточна только для образования одного связанного триплетного -состояния (дейтрона). Состояния с большими угловыми моментами разрываются центробежными силами. В природе мы, по-видимому, сталкиваемся именно

с этой ситуацией; связь оказывается недостаточно сильной для образования возбужденного состояния нуклона. Однако на эксперименте наблюдается гигантский резонанс в мезонном рассеянии при энергиях мезонов Это явление следует отнести за счет нестабильного возбужденного состояния, влияние которого на рассеяние будет рассмотрено в следующем пункте.