Глава 17. ОСНОВНОЕ СОСТОЯНИЕ

17.1. Точные результаты.

В течение длительного времени одной из основных задач мезонной теории был анализ физического нуклона в терминах голого нуклона и окружающего его мезонного облака. Анализ этой задачи завел в тупик, из которого до сих пор не найден выход; до настоящего времени количественное описание проблемы отсутствует. С другой стороны, даже если задача была бы решена, результат имел бы довольно ограниченную ценность. Причина заключается в том, что для описания свойств основного состояния оказался несущественным большой эффект физики -мезонов, связанный с резонансным состоянием нуклона. Для основного состояния одинаково важны и явление резонанса, и эффекты средней величины как учитываемые рассматриваемой моделью, так и лежащие вне ее. Как мы увидим далее, измеримые величины, относящиеся к основному состоянию, наша модель предсказывает с точностью только около 50%. По плодотворности и сложности эту задачу можно сравнить с вычислением основного состояния лёгких ядер при неточном знании ядерных сил.

Существенным шагом вперед статической мезонной теории был отказ от рассмотрения свойств физического нуклона. С практической точки зрения модель оказалась наиболее подходящей для описания таких процессов, как -мезон-нуклонное рассеяние. Здесь надо знать лишь определенные матричные элементы в основном состоянии, а многие величины типа собственной энергии остаются ненаблюдаемыми. Тем не менее для лучшего понимания проблемы мы дадим в настоящей главе обзор наиболее существенных известных черт основного состояния и тех уроков, которые были вынесены в прошлом из изучения различных приближенных схем. Соответствующие методы представляют собой содержание последующих пунктов.

В первую очередь изучим структуру важнейших матричных элементов. Мы уже упоминали, что основное состояние

четырехкратно вырождено. Эти вырожденные состояния имеют спин и изоспин, рявные и могут быть записаны как

Матричные элементы между этими состояниями можно значительно упростить, если использовать трансформационные свойства, связанные с инвариантностью относительно различных групп. Тот факт, что рассматриваемые состояния преобразуются как голые нуклоны при вращениях в обычном и изотопическом пространстве, можно выразить равенствами

для произвольных векторов . (При классификации состояний нуклона мы используем индекс для изоспина и для углового момента.) Далее, поскольку а и t имеют те же трансформационные свойства относительно вращений, что и J и Т и поскольку нуклонные состояния являются собственными состояниями этих операторов, мы имеем

При помощи вращений эти соотношения можно обобщить следующим образом:

где число, не зависящее от . Аналогично

где число должно быть тем же, что и вследствие инвариантности теории к замене J на Т. Одновременное вращение в спиновом и изоспиновом пространствах дает

куда входит новая константа Чтобы избежать большого числа индексов, мы ввели единый индекс для обозначения нуклонных состояний.

Таким образом, мы видим, что матричные элементы операторов и их произведений между физическими нуклонными состояниями содержат всего два произвольных параметра На самом деле они еще не вполне произвольны, а должны удовлетворять некоторым неравенствам. Чтобы получить эти неравенства,

выразим состояния физического нуклона через голые состояния

где облачающий оператор R представляет собой инвариантную комбинацию из и мезонных операторов рождения типа, например, (16.34). Поскольку физический и голый нуклоны имеют спин и изоспин, равные угловой момент и изоспин мезонного облака могут быть равны лишь 0 и 1. Если приписывать различным частям индексы для обозначения квантовых чисел соответствующих частей мезонного облака, то R будет линейной комбинацией операторов Таким образом, мы можем записать, например, основное состояние в виде

где все R содержат только операторы рождения мезонов. Мы обеспечили пока лишь выполнение необходимого условия, состоящего в том, что состояние должно быть собственным состоянием . Однако в гл. 16 мы научились строить собственные состояния . Следуя приведенной там схеме, введем операторы таким образом, что при различных значениях они будут связаны соответствующим вращением. Оператор R отличается от R выделением некоторых коэффициентов Клебша — Гордона, и в терминах R мы получаем

Поскольку состояние голого вакуума инвариантно относительно вращений, матричные элементы

не зависят от . Нормировка физического нуклонного состояния требует выполнения равенства

Далее, из симметрии теории относительно замены обычного пространства на изоспиновое следует, что

так что мы имеем следующие неравенства:

Постоянные нетрудно выразить через матрицы . Следует только вспомнить, что голые нуклонные состояния являются собственными состояниями операторов , например,

и что операторы коммутируют с . Поскольку Си не зависят от мы можем вычислить любой матричный элемент. Так

Читатель может проверить, что вычисление, например, приводит к аналогичному результату для Вследствие (17.9) и (17.10) только два из элементов С независимы и, следовательно, могут быть выражены через . Подставляя (17.9) и (17.10) в (17.11) и (17.12), мы выводим ряд неравенств типа, например,

Мы не можем получить какие-либо другие точные утверждения. Однако можно привести довольно убедительные аргументы в пользу того, что величина должна быть небольшой. Поскольку одиночный мезон имеет состояния, дающие вклад в должны содержать по меньшей мере два мезона, угловые моменты которых прибавляются к результирующему значению, равному 1, тогда как изоспины компенсируются (или наоборот). Поэтому угловой момент мезонной волновой функции должен быть нечетным, в то время

как изоспиновая функция четна по отношению к перестановке мезонов (или наоборот), и, согласно требованию статистики Бозе — Эйнштейна (которой подчиняются мезоны), радиальная часть волновой функции должна быть нечетной. Антисимметрия радиальной функции при учете ее быстрого экспоненциального спадания (например, ) приводит к тому, что среднее вакуумное значение, определяющее величину должно быть мало. Это утверждение еще усиливается при точном рассмотрении в рамках модели Ли таких состояний, для которых разрешен обмен более чем одним мезоном [2]. В этой модели . В предположении, что пренебрежимо мала, обе величины полностью определяются единственным параметром (поскольку ), и мы получаем

Важное значение величин заключается в том, что они являются основными величинами, характеризующими состояния физического нуклона, которые нужны нам для сопоставления теории и эксперимента. Однако было сделано много попыток получить приближенные выражения для операторов R, также как для их средних значений. Подобные вычисления иллюстрируют наши общие идеи и позволяют вычислить и другие матрицы в некоторых крайних, но в основном нереальных случаях Ниже мы обрисуем основные черты различных часто используемых приближений в их применении к основному состоянию.