Часть вторая. ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ, ДОПУСКАЮЩИЕ ТОЧНОЕ РЕШЕНИЕ

Глава 8. ОБЩИЙ ОБЗОР

8.1. Уравнения поля.

До сих пор мы рассматривали свободные поля. Теперь мы перейдем к более интересной задаче, включающей дополнительный механизм, вызывающий рождение, поглощение и рассеяние частиц поля. В этой части книги мы опишем несколько типов взаимодействий, для которых возможны полный анализ и точные решения. К сожалению, они довольно далеки от физической реальности и имеют лишь отдаленное сходство с тем, что мы наблюдаем в природе. Тем не менее их изучение имеет не только академический интерес, поскольку такие примеры учат нас тому, с чем мы можем столкнуться в более реальных случаях, не поддающихся детальному исследованию; такой реальный случай — -мезон-нуклонное взаимодействие — мы рассмотрим в последней части книги.

В качестве первого примера рассмотрим простой случай поля с источником в виде заданной функции пространственных координат и времени:

Элементарный механический аналог такого рода задачи — это внешняя сила действующая на гармонический осциллятор. Уравнение движения для этой модели имеет вид

Как и ранее, для первой ориентировки мы обратимся к классическому решению уравнения и лишь после этого рассмотрим квантовые аспекты задачи. Мы покажем, что как и одномерную задачу (8.2), уравнение (8.1) можно решить с помощью функции Грина.

Решая эту задачу, следует помнить, что если источник представляет собой сумму нескольких частей, то вследствие линейности уравнений решение будет также суммой решений, соответствующих

отдельным частям. Поэтому нужно найти лишь решение уравнения с точечным источником

и тогда полное решение (8.1) можно построить в виде суперпозиции

Из уравнения (8.3) легко видеть, что это поле действительно удовлетворяет уравнению (8.1). Решение (8,3) может быть получено в виде разложения дифференциального оператора по собственным функциям, что достигается переходом к преобразованию Фурье:

Подстановка этих выражений в (8.3) дает

или

Мы видим, что подынтегральное выражение в (8.5) имеет два полюса на пути интегрирования при и при Если при интегрировании не задать характер обхода этих сингулярностей, наше выражение для функции Грина становится неопределенным. При интегрировании по различным путям мы получаем ответы, которые отличаются на величину вычетов в этих сингулярностях. Это является отражением того хорошо известного факта, что решение линейного неоднородного уравнения неоднозначно, поскольку к нему всегда можно добавить решение однородного уравнения. Действительно, вклады вычетов имеют вид в т. е. в точности совпадают с решением однородного уравнения. Чтобы получить единственное решение, необходимо задаться определенными граничными условиями. Для задач, с которыми мы столкнемся в дальнейшем, особой значение имеют граничные условия, соответствующие путям интегрирования в комплексной плоскости изображенным на фиг. 8.1. Мы будем обозначать эти специальные функции Грина как Их смысл

можно выяснить, рассматривая интеграл по в комплексной плоскости. Для t, ббльших (меньших) нуля, множитель экспоненциально растет (убывает) в верхней полуплоскости и убывает (растет) в нижней.

Фиг. 8.1. Контуры интегрирования для функции Грина, соответствующие двум различным граничным условиям.

Замыкая путь интегрирования в верхней или нижней полуплоскости, мы видим, что для для Полная функция Грина задается выражением

а два решения связаны следующим образом:

С помощью этих функций Грина можно записать общее решение (8.1) в виде

Здесь — решения однородного уравнения. Их физический смысл легче всего понять, рассмотрев в качестве примера случай, когда отличается от нуля только в конечной пространственно-временнбй области, ограниченной моментами времени . Из доказанных выше свойств функций Грина следует, что в этом случае совпадает с при при . Следовательно, описывает поле, существовавшее до включения источника, поле, остающееся после того, как источник выключается, как это изображено на фиг. 8.2.

Фиг. 8.2. Расположение областей, в которых Ф соответствует относительно источника .

Для многих проблем оказывается существенным только член с в (8.10). Это означает, что граничные условия имеют вчлф при . Хотя нельзя указать какую-либо принципиальную причину, по которой функция была бы лучше первая используется чаще, поскольку значительно легче задать экспериментальные условия при чем определенные условия в конце при .

Представляет интерес задача другого рода, изучению которой мы в дальнейшем будем уделять много внимания; она определяется уравнением

Здесь обобщенный потенциал, действующий на поле; в случае связанных осцилляторов он соответствует более сложной связи, чем просто связь с ближайшими соседями. Уравнение удается решить лишь для некоторых частных видов V, однако во всех случаях его можно переписать в интегральной форме с помощью функций Грина:

Если V стремится к нулю при , то определенные по (8.12), имеют тот же физический смысл, что и в предыдущем примере.

Оба вида задач встречаются в многочисленных областях физики, хотя обычно и в несколько более сложной форме. Типичное свойство систем рассмотренного типа заключается в том, что энергия и импульс поля в отдельности более не сохраняются. Это следует из того, что не равны теперь нулю, поскольку или V могут зависеть явно от t и и поскольку L содержит теперь добавочные члены, содержащие или V. По существу даже число частиц поля не будет сохраняться, так как (8.1) и (8.11) дают

Наблюдаемые остаются интегралами движения только при определенных условиях. Например, угловой момент сохраняется только при сферически симметричном источнике.