6.3. Многочастичные состояния.

Другое необычное физическое явление, непосредственно связанное с вышеизложенными рассуждениями, это флуктуации числа бозонов в объеме содержащем определенное число бозонов . Для независимых частиц распределение числа частиц в объеме v удовлетворяет закону Пуассона, так что вероятность обнаружения v частиц в объеме v равна

где v - среднее число частиц в объеме

При однородном распределении частиц в нормировочном объеме число v должно быть равно Для распределения Пуассона флуктуация числа частиц в объеме v равна

а это означает, что в случае нормального распределения и в отсутствие корреляций квадратичные флуктуации локальной плотности пропорциональны самой плотности. Это и есть результат для частиц в классическом рассмотрении.

Что же получается при анализе с точки зрения теории поля? Мы покажем сейчас, что даже для бозонов, находящихся в ортогональных состояниях (для которых плотности частиц аддитивны), локальные флуктуации плотности частиц не аддитивны. Чтобы получить этот вывод, мы вычислим в первую очередь v для -частичного состояния, которое представляется в виде

причем

Теми же методами, что и раньше, мы получаем

Если каждая функция выбирается в виде плоской волны , мы имеем

как и следовало ожидать. Для среднего значения

мы находим обычным образом

и поэтому

где

Первый член в (6.23) соответствует результату, полученному ранее, т. е. уравнению (6.16) для распределения в отсутствие корреляций; два других члена описывают флуктуации, связанные с интерференцией различных частиц. В пределе второй член исчезает вследствие предположения (6.18), а последний член равен , что можно было предвидеть, так как при этом мы переходим к собственному состоянию N, для которого Для плоских волн последний член равен он исчезает при .

Изучим теперь флуктуации плотности частиц в двух предельных случаях: когда объем v много больше и когда он много меньше объема, в котором отличны от нуля функции распределения представляющие частицы. Если кванты образуются волновыми пакетами с длиной волны, много меньшей как показано на фиг. 6.3, а, то второй член выпадает из-за ортогональности Поле в этом случае имеет свойства совершенно не интерферирующей системы и не проявляет волнового поведения. В противоположном

случае больших длин волн как это показано на фиг. 6.3, б, если волны плоские, мы получаем, что второй член

а флуктуации оказываются равными

Можно заметить, что при малой средней плотности частиц частицы ведут себя как классические.

Фиг. 6.3. Флуктуации в предельных случаях. На фиг. а размеры пакета, представляющего частицу, гораздо меньше объема v, а на фиг. б — гораздо больше V.

Чтобы проиллюстрировать значение добавочного интерференционного члена (т. е. ), следует рассмотреть случай большой плотности частиц, В этом пределе частицы ведут себя как суперпозиция волн с равными амплитудами и случайно выбранными фазами

Интенсивность результирующей волны равна

и поэтому

В (6.24) Re означает действительную часть выражения в скобках. После усреднения по фазам мы находим для :

что согласуется с . Такие большие флуктуации происходят вследствие естественной тенденции бозонов к слиянию. Это действительно наблюдалось в интенсивных световых лучах, где распределение бозонов не подчинялось закону Пуассона [1]. В зависимости от того, мало или много бозонов имеет достаточную длину волны, наша система будет проявлять либо корпускулярные, либо волновые свойства.