4.2. Вывод уравнений движения из лагранжиана.

Мы рассмотрим теперь вид перестановочных соотношений для непрерывных переменных Это даст ключ к общим правилам квантования. Используя (4.8) и (4.9), получаем

Здесь мы воспользовались известным из теории разложений Фурье фактом, состоящим в том, что следующая сумма представляет собой эффективно -функцию в интервале . В пределе

Зто равенство отражает полноту набора экспоненциальных функций и является непрерывным аналогом (1.5). Вид (4.16) для непрерывной формы канонических перестановочных соотношений можно было предвидеть. Действительно, предел равенства [т. е. (3.2)] при имеет вид

где равно 1, если находятся в одной и той же ячейке пространства и равно нулю в противоположном случае. В пределе отношение дает как раз одномерную дираковскую -функцию, , а (4.16) представляет собой трехмерное обобщение этого равенства.

Теперь мы можем установить общие правила квантования поля с помощью формального аппарата функциональной проиаводной и -функции. Удобно начать с лагранжиана, из которого уравнения поля получаются как свойство стационарности интеграла действия

где плотность лагранжиана. Накладывая в качестве граничного условия требование, чтобы произвольная вариация равнялась нулю в точках мы получаем с помощью функциональной производной, введенной в (1.13):

Поэтому эйлеровские уравнения движения имеют вид

С помощью функциональных производных

уравнения Эйлера приводятся к классической форме,

Обобщение канонически сопряженной переменной записывается как

Для гамильтониана и перестановочных соотношений мы постулируем в согласии с общими формулами

Таким образом, переход от дискретных к непрерывным переменным осуществляется посредством замены суммы на интеграл, частной производной на функциональную производную и -символа Кронекера на дираковскую -функцию.

Уравнения поля и гамильтониан (4.6) строятся из лагранжиана

С помощью (1.13) можно убедиться, что канонически сопряженное поле имеет вид

поэтому постулированный нами лагранжиан ведет к гамильтониану (4.6) и перестановочным соотношениям (4.4) и (4.16).

Использование механической аналогии для нахождения уравнений поля (4.6) может показаться неубедительным, если применять ее, скажем, к полю -мезонов. Для более систематического вывода существен лагранжев формализм. Чтобы удовлетворить требованию лоренц-инвариантности, плотность лагранжиана, т. е. величина под знаком интеграла (4.20), должна быть скаляром. Наше выражение по существу представляет собой самую общую скалярную форму, квадратичную по полю и его производным.

В качестве следующего примера, который мы будем иногда использовать для противопоставления релятивистскому полю применим лагранжев формализм к полю подчиняющемуся уравнению Шредингера, Это уравнение первого порядка относительно производной

по времени, однако, поскольку поле не является эрмитовым два уравнения для эквивалентны одному уравнению второго порядка. Применение наших правил к уравнениям первого порядка требует некоторой осторожности. Чтобы убедиться в этом, мы вернемся на время к рассмотрению одиночного гармонического осциллятора. Уравнение движения при для реального оператора можно заменить на два дифференциальных уравнения первого порядка для неэрмитовых операторов :

Мы видим, что эрмитов лагранжиан, дающий и обычное выражение для энергии, имеет вид

Сопряженные переменные равны

и, следовательно, для гамильтониана можно записать:

Однако правильные перестановочные соотношения, выведенные из соотношения имеют вид

и значит

Множитель появляющийся в перестановочных соотношениях для канонически сопряженных операторов всегда

присутствует в том случае, когда при выводе уравнений движения первого порядка для неэрмитова поля используется эрмитов лагранжиан.

Соответствующий лагранжиан для шредингеровских полей можно записать как

а уравнения поля, вытекающие из него, имеют вид

Операторы обобщенных импульсов канонически сопряженные к равны

С помощью перестановочных соотношений

мы получаем

Наконец, гамильтониан равен

При выводе уравнений поля из гамильтониана необходимо соблюдать осторожность. Только после того как эрмитов гамильтониан явным образом выражен через канонически сопряженные импульсы соотношения (1.14) дают правильные уравнения поля. Собственные

значения энергии можно получить таким же способом, как и раньше:

Случай шредингеровского поля по существу несколько проще случая релятивистского поля Клейна — Гордона; в частности, соотношение между энергией и импульсом для квантов поля имеет здесь классический вид. В следующей главе мы изучим некоторые различия между релятивистским и нерелятивистским случаями, которые не имеют тривиальной кинематической природы.