17.4. Приближение промежуточной связи Томонаги [7—11].

В методе Томонаги для промежуточной силы связи число мезонов в облаке не ограничивается. Вместо этого в нем используется статистика Бозе—Эйнштейна для -мезонов и вытекающая из нее тенденция к слипанию; кроме того, считается, что все мезоны имеют одинаковые радиальные волновые функции. С этой точки зрения удобно перейти к представлению углового момента по уравнению (5.10 а). Тогда,

если разложить мезонное поле по полному набору ортогональных радиальных функций

то рассматриваемое приближение состоит в том, что из всех видов пробных функций (подлежащих определению с помощью вариационного принципа) оставляется только один, скажем с s = 0. Новые операторы подчиняются обычным перестановочным соотношениям для всех значений

Поэтому гамильтониан можно переписать в виде

В приближении Томонаги сохраняется только член с благодаря предположению, что для пробного состояния при будет Оптимальную форму за находят посредством минимизации

по отношению к виду и зависимости операторов рождения и уничтожения мезонов и . При выполнении этой процедуры мы учтем ограничение

Для этого введем неопределенный множитель Лагранжа . Такиу образом, получаем

и для находим

где — нормировочная постоянная, не зависящая от неопределенный множитель, связанный с соотношением

Минимизируя с этой формой , мы получаем наинизшеё ственное значение в виде функции от . Тогда этот параметр можно определить путем дальнейших вариационных вычислений, которые будут проделаны в следующем пункте. Полученный вид совпадает с (17.24) в приближении Тамма — Данкова; при этом, однако, следует помнить, что число мезонов теперь не ограничено.

Остается определить собственную функцию основного состояния и энергию , которые зависят от и и, следовательно, от . Упрощенный гамильтониан (17.30), в котором оставлены только члены с соответствует девяти осцилляторам связанным со спином и изоспином; его диагонализация представляет собой задачу элементарной квантовой механики. Ее, однако, невозможно решить в замкнутом виде. Мы столкнулись бы с этим обстоятельством, даже если бы учитывали усложнения, связанные только со спином (нейтральная псевдоскалярная теория) или с изоспином (симметричная скалярная теория). Чтобы получить некоторое представление о проблеме, рассмотрим первый из этих

случаев подробнее. Здесь упрощенный гамильтониан имеет вид

Возвращаясь к канонически сопряженным операторам и q с помощью равенств

можно переписать H в виде

где

Формула (17.36) подчеркивает формальную аналогию с элементарной квантовой механикой и соответствует трехмерному осциллятору, связанному со спином взаимодействием . При этом взаимодействии не сохраняется четность, так как при отражении системы координат . Продолжая эту аналогию, мы приходим к выводу, что основное состояние должно быть смесью состояний с определенными угловыми моментами Это единственные два состояния, разрешенные при условии, что и спин голого, и спин физического нуклона равны Они соответствуют угловому моменту мезонного облака и имеют вид . В дальнейшем мы будем, однако, выполнять разложение не по этим состояниям, а по состояниям, для которых вектор 9 параллелен или антипараллелен вектору q, поскольку это условие определяет знак Н. Вводя операторы проектирования на собственные состояния в

запишем основное состояние в виде

где удовлетворяют уравнениям

Поскольку оператор инвариантен относительно вращений, состояние (17.38) есть собственное состояние J с собственным значением 1/2, или с собственным значением в зависимости от того, куда направлен спин вверх или вниз. Раскрывая условие с помощью равенств

находим

Выписанные уравнения второго порядка невозможно решить аналитически, но предельные случаи их нетрудно исследовать.

При малых значениях g мы возвращаемся к результату теории возмущений (так как доминирует ), но для больших значений основным членом становится величина Это можно видеть, если принять внимание, что уравнение (17.40) соответствует, гармоническому осциллятору, смещенному на величину от центра (фиг. 17.1). Поскольку мы рассматриваем только случай , то будет гауссовой функцией с вершиной в с той же шириной, что и функция основного состояния, а должна держаться как возможно малой. В самом деле, для больших смещений член становится пренебрежимо малым и решение в виде чистого оказывается хорошим приближением. Далее, для смещений, значительно превосходящих величины нулевых флуктуаций — необходимо лишь малое изменение чтобы удовлетворить граничному условию при Следовательно, в этом пределе основное состояние приближенно имеет вид

при

Другое решение (17.40), которое в основном состоит из имеет более высокую энергию. Для малых значений g эти два решения переходят в состояния соответственно. Аналогично энергия одного из -состояний будет понижаться при включении Н.

Фиг. 17.1. График потенциала для Кривая продолжена в нефизическую область отрицательных значений q (пунктирный участок).

В самом деле, рассмотрение центробежного члена по теории возмущений показывает, что связанный с ним сдвиг над основным состоянием равен

С ростом g энергия приближается к энергии основного состояния, как это показано, на фиг. 17.2. Конечно, вопрос о том, будет ли такое состояние устойчивым или же оно будет распадаться на основное состояние и -мезоны, можно решить, только принимая во внимание члены с в (17.30). Задача окажется сходной с соответствующей задачей в модели Ли, в которой источник, имеющий

различные энергетические уровни, связан с мезонным полем. Если энергетические сдвиги, обусловленные взаимодействием для всех уровней, одинаковы, то первое возбужденное состояние будет стабильным, когда его энергия превышает основное состояние менее чем на

Фиг. 17.2. Энергия наинизших состояний как функция эффективной силы связи Указаны угловые моменты состояний и другие необходимые квантовые числа.

Возбужденное -состояние соответствует классическому вращению спина, рассмотренному ранее. В самом деле, поскольку для сильной связи и, следовательно,

то для приведенной выше энергии возбуждения

Это прекрасно согласуется с классическим результатом, следующим из (16.18):

Рассматривая существенные черты основного состояния, мы в первую очередь отмечаем, что гауссовская форма (17.41) означает, что

распределение мезонов подобно распределению Пуассона, как это имело место и в скалярной теории. Однако q рождает только мезоны с полным угловым моментом, равным нулю, и поэтому рождается всегда смесь мезонных пар. В самом деле, если

то уравнения

показывают, что всегда рождают смесь пар с или При этом первой возможности соответствует амплитуда, вдвое большая, чем второй. В нейтральной псевдоскалярной теории константа отсутствует, а величина определяется в пределе очень сильной связи равенствами

Отсюда видно, что в рассматриваемом пределе величина равна Для промежуточных значений g систему уравнений (17.40) можно решить лишь с помощью численных методов, которые мы не будем здесь обсуждать

Возвращаясь к симметричной псевдоскалярной теории, мы можем легко представить себе, что аналитическое решение в этом случае найти невозможно. Вследствие дололнительных степеней свободы, которые вносит изоспин, мы получаем вместо (17.39) четыре связанных уравнения для четырех функций в девятимерном пространстве. Для малых констант связи получается, однако, результат, совпадающий с даваемым теорией возмущений, а для больших значений теория переходит в приближение сильной связи, к которому мы сейчас и обратимся.