13.5. Полнота.

Покажем теперь явным образом, что перестановочные соотношения (13.4) — (13.6) выполняются в подпространстве если предположить, что удовлетворяют перестановочным соотношениям для операторов в отсутствие взаимодействия, и если как это показано ниже. Аналогично уравнениям (12.3) — (12.5) мы получаем

Здесь С — контур, аналогичный части контура на фиг. 11.2; он изображен на фиг. 13.2; — функция везде аналитическая, за исключением разреза вдоль вещественной оси от до .

Фиг. 13.2. Контур интегрирования С для уравнения (13.21).

Для она стремится, однако, к 1, так что интеграл по бесконечному кругу дает вклад, равный

Отсюда, замыкая контур бесконечной окружностью и обозначая интеграл по замкнутому контуру символом (j), получаем

что означает равенство

Аналогичные соображения показывают, что

Эта формула уже знакома нам из теории с билинейным взаимодействием. Таким образом, равенство

удовлетворяется. Также можно проверить и равенство

Установив перестановочные соотношения и найдя решения в выбранном секторе гильбертова пространства, мы обратимся теперь к обсуждению физического смысла использованных величин. Состояние физического нейтрона возникает при действии на протонное состояние:

Поскольку имеет временною зависимость то, следовательно, состояние является собственным состоянием!) Н с собственным значением , как мы и нашли ранее. Множитель Z равен вероятности обнаружения голого нейтрона в состоянии физического нейтрона:

а — волновая функция виртуального -мезона при распаде нейтрона на

С помощью простых вычислений можно убедиться, что последняя функция имеет следующие свойства: нормирована, как этого и следовало ожидать, на вероятность диссоциации нейтрона:

Форма записи в виде (13.196) показывает, что виртуальные -мезоны остаются, вблизи источника на расстоянии Далее, к виртуальным -мезонам применима теорема вириала в той же форме, что в случае статического источника. Если, например, то мы получаем соотношение между - частью гамильтониана (13.3), пропорциональной g, и

и

следовательно,

Тот факт, что перестановочные соотношения для операторов удовлетворяются, показывает, что найденные нами состояния с образуют полный набор. Таким образом, имеется, в частности, только одно дискретное состояние системы именно

Формальная причина этого заключается в том, что, как было видно ранее, величина имеет только один нуль . С увеличением радиус растет и достигает бесконечности при . В этот момент нейтрон становится неустойчивым по отношению к распаду на протон и -мезон, и исходное дискретное состояние для исчезает. В этом случае перестановочные соотношения выполняются при и физический нейтрон превращается просто в резонанс в -мезон-протонном рассеянии; волновая функция рассеяния -мезона сингулярна в -пространстве; это означает, что существуют -мезоны на бесконечном расстоянии от нуклона.